《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

18. 如图1,在平面直角坐标系中,直线$y = kx + b$分别与$x$轴,$y$轴交于点$A(-1,0)$,$B(0,2)$,过点$C(2,0)$作$x$轴的垂线,与直线$AB$交于点$D$.
(1)求点$D$的坐标.
(2)$E$是线段$CD$上一动点,直线$BE$与$x$轴交于点$F$.
(ⅰ)若$\triangle BDF$的面积为8,求点$F$的坐标;
(ⅱ)如图2,当点$F$在$x$轴正半轴上时,将直线$BF$绕点$B$逆时针旋转$45^{\circ}$后的直线与线段$CD$交于点$M$,连结$FM$,若$OF = MF + 1$,求线段$MF$的长.

答案：

(1)
∵y = kx + b分别与x轴，y轴交于点A(-1,0)，B(0,2)，
∴$\begin{cases}-k + b = 0,\\b = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = 2,\end{cases}$
∴y = 2x + 2，
∴x = 2时，$y_{D} = 2\times2 + 2 = 6$，
∴点D(2,6)。
(2)(i)点E在线段CD上，且点C(2,0)，D(2,6)，设点F(m,0)，分两种情况：
①当点F在x轴正半轴上时，如图1，

∵点D(2,6)，A(-1,0)，B(0,2)，DC⊥x轴，
∴$S_{\triangle ADF} = \frac{1}{2}AF\cdot DC = \frac{1}{2}(m + 1)\times6 = 3(m + 1)$，$S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2}AF\cdot OB = \frac{1}{2}(m + 1)\times2 = m + 1$，
∵$S_{\triangle DBF} = 8$，
∴$S_{\triangle ADF} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle DBF}$，即$3(m + 1) = m + 1 + 8$，m = 3，
∴点F(3,0)；
②当点F在x轴负半轴上时，如图2，

∵点A(-1,0)，B(0,2)，C(2,0)，D(2,6)，
∴$S_{\triangle ADF} = \frac{1}{2}AF\cdot CD = \frac{1}{2}(-1 - m)\times6 = - 3 - 3m$，$S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2}AF\cdot OB = \frac{1}{2}(-1 - m)\times2 = - 1 - m$，
∵$S_{\triangle BDF} = S_{\triangle ADF} - S_{\triangle ABF} = 8$，
∴(-3 - 3m) - (-1 - m) = 8，解得m = - 5，
∴点F(-5,0)；
综上所述，点F(-5,0)或(3,0)。
(ii)如图3，过点M作MN垂直于y轴，垂足为N，过点B作MB的垂线交x轴于点G，

∵∠NMB + ∠NBM = 90°，∠OBG + ∠NBM = 90°，
∴∠NMB = ∠OBG，在△MNB与△BOG中，$\begin{cases}\angle NMB = \angle OBG,\\MN = BO = 2,\\\angle MNB = \angle BOG = 90^{\circ},\end{cases}$
∴△MNB≌△BOG(ASA)，
∴NB = OG，BM = BG，在△MBF与△GBF中，$\begin{cases}BM = BG,\\\angle MBF = \angle GBF = 45^{\circ},\\BF = BF,\end{cases}$
∴△MBF≌△GBF(SAS)，
∴MF = GF，又
∵OF = MF + 1，OF = GF + OG，
∴OG = 1，
∴NB = 1，
∴ON = MC = 3，设NF = t，则CF = OF - 2 = t + 1 - 2 = t - 1，在Rt△MCF中，$MC^{2} + CF^{2} = MF^{2}$，
∴$3^{2} + (t - 1)^{2} = t^{2}$，
∴t = 5，
∴MF = 5。