《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

1. 二次函数增减性:当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线开口向上,在对称轴左侧即 $ x \leq -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小,当 $ x \geq -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大.

答案： 开口向上 减小 增大

例 1 抛物线 $ y = -x^{2} + 2x + m - 1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ (0,3) $.
(1)求出 $ m $ 的值并在坐标系中画出这条抛物线.4
(2)求它与 $ x $ 轴的交点和抛物线顶点的坐标.与$x$轴的交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，顶点为$(1,4)$
(3)当 $ x $ 取什么值时,$ y ＞ 0 $?当$-1\lt x\lt3$时
(4)当 $ x $ 取什么值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小?当$x\geq1$时

答案： 【解析】：1. 已知抛物线$y = -x^{2} + 2x + m - 1$与$y$轴交于点$(0,3)$，把$x = 0$，$y = 3$代入抛物线方程可得$m - 1 = 3$，解得$m = 4$，则抛物线表达式为$y = -x^{2} + 2x + 3$。对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，在$y = -x^{2} + 2x + 3$中，$a=-1$，$b = 2$，$c = 3$，对称轴为$x=-\frac{2}{2\times(-1)} = 1$，当$x = 1$时，$y=-1^{2}+2\times1 + 3 = 4$，所以顶点坐标为$(1,4)$。令$y = 0$，即$-x^{2} + 2x + 3 = 0$，变形为$x^{2}-2x - 3 = 0$，分解因式得$(x - 3)(x + 1)=0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$，所以与$x$轴交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。根据这些点和对称轴以及开口方向（$a=-1\lt0$，开口向下）可画出抛物线图象。
2. 由上述计算可知与$x$轴的交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，顶点为$(1,4)$。
3. $y\gt0$表示抛物线图象在$x$轴上方，从图象可知当$-1\lt x\lt3$时，$y\gt0$。
4. 因为抛物线开口向下，对称轴为$x = 1$，所以在对称轴右侧，即当$x\geq1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：1. $m = 4$ 2. 与$x$轴的交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，顶点为$(1,4)$ 3. 当$-1\lt x\lt3$时 4. 当$x\geq1$时