《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

例2 判断下列函数图象是否经过点$(2,-4)$.
①$y = -2x^2$;②$y = \frac{-2}{x}$;③$y = -x^2$;④$y = x^2$;⑤$y = -2x$;⑥$y = x - 6$.
③⑤⑥

答案： 【解析】：
1. 对于函数$y = -2x^2$，当$x = 2$时，$y=-2\times2^2=-2\times4 = -8\neq - 4$，所以该函数图象不经过点$(2,-4)$。
2. 对于函数$y=\frac{-2}{x}$，当$x = 2$时，$y=\frac{-2}{2}=-1\neq - 4$，所以该函数图象不经过点$(2,-4)$。
3. 对于函数$y = -x^2$，当$x = 2$时，$y=-2^2=-4$，所以该函数图象经过点$(2,-4)$。
4. 对于函数$y = x^2$，当$x = 2$时，$y=2^2 = 4\neq - 4$，所以该函数图象不经过点$(2,-4)$。
5. 对于函数$y = -2x$，当$x = 2$时，$y=-2\times2=-4$，所以该函数图象经过点$(2,-4)$。
6. 对于函数$y = x - 6$，当$x = 2$时，$y=2 - 6=-4$，所以该函数图象经过点$(2,-4)$。
【答案】：③⑤⑥

例3 小桥的桥孔形状是一条开口向下的抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$.
(1)在坐标系中画出该抛物线.略（需在坐标系中按上述方法画出抛物线）
(2)当水平面离抛物线顶点$2$个单位长度时,水面宽度是4个单位长度?
(3)当水面宽度为$6$个单位长度时,水平面离抛物线顶点的距离是$\frac{9}{2}$个单位长度?

答案： 【解析】：1. 对于（1），要画出抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$，可先确定其顶点坐标为$(0,0)$，再选取一些$x$值，如$x = \pm1$，$x=\pm2$等，分别计算出对应的$y$值，$x = 1$时，$y=-\frac{1}{2}\times1^2=-\frac{1}{2}$；$x = 2$时，$y=-\frac{1}{2}\times2^2=-2$，然后根据这些点的坐标在坐标系中描点，最后用平滑曲线连接这些点即可画出抛物线。
2. 对于（2），因为抛物线顶点为$(0,0)$，开口向下，当水平面离抛物线顶点$2$个单位长度时，此时$y=-2$，把$y = -2$代入抛物线方程$y = -\frac{1}{2}x^2$，得到$-\frac{1}{2}x^2 = -2$，方程两边同时乘以$-2$得$x^2 = 4$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，水面宽度就是这两个$x$值差的绝对值，即$2 - (-2) = 4$。
3. 对于（3），当水面宽度为$6$个单位长度时，因为抛物线关于$y$轴对称，所以此时$x$的值为$\pm3$，把$x = 3$代入抛物线方程$y = -\frac{1}{2}x^2$，可得$y = -\frac{1}{2}\times3^2 = -\frac{9}{2}$，所以水平面离抛物线顶点的距离就是$\vert y\vert=\frac{9}{2}$。
【答案】：1. 略（需在坐标系中按上述方法画出抛物线） 2. $4$ 3. $\frac{9}{2}$