《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

例 2 已知抛物线 $ y = a(x - 1)^{2} + k $($ a,k $ 是常数,且 $ a ＞ 0 $)上三点 $ P_{1}(-2,y_{1}),P_{2}(-1,y_{2}),P_{3}(\sqrt{2},y_{3}) $,则 ………………………………………………… (A)
A. $ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
B. $ y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1} $
C. $ y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2} $
D. $ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $

答案： A

例 3 根据下列条件,分别求二次函数的表达式.
(1)已知图象经过点 $ (0,0),(1,-3),(2,-8) $.
(2)已知图象的顶点坐标为 $ (-2,-3) $,且过点 $ (-3,-2) $.
(3)已知图象经过点 $ (-2,0),(4,0) $ 和 $ (0,2) $.

答案： 【解析】：1. 对于第一小题，因为图象经过原点$(0,0)$，所以二次函数表达式中常数项$c = 0$，可设函数表达式为$y = ax^{2}+bx$。把点$(1, - 3)$，$(2, - 8)$分别代入$y = ax^{2}+bx$中，得到方程组$\begin{cases}a + b=-3\\4a + 2b=-8\end{cases}$，由第一个方程$a + b=-3$可得$b=-3 - a$，将其代入第二个方程$4a + 2b=-8$中，即$4a+2(-3 - a)=-8$，展开得$4a-6 - 2a=-8$，$2a=-8 + 6=-2$，解得$a=-1$，把$a=-1$代入$b=-3 - a$得$b=-3-(-1)=-2$。
2. 对于第二小题，已知图象的顶点坐标为$(-2,-3)$，二次函数顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$（$(h,k)$为顶点坐标），所以设函数表达式为$y = a(x + 2)^{2}-3$。把点$(-3,-2)$代入$y = a(x + 2)^{2}-3$中，可得$-2=a(-3 + 2)^{2}-3$，即$-2=a\times(-1)^{2}-3$，$-2=a - 3$，解得$a = 1$。
3. 对于第三小题，已知图象经过点$(-2,0)$，$(4,0)$，二次函数交点式为$y=a(x - x_{1})(x - x_{2})$（$x_{1},x_{2}$为与$x$轴交点的横坐标），所以设函数表达式为$y = a(x + 2)(x - 4)$。把点$(0,2)$代入$y = a(x + 2)(x - 4)$中，可得$2=a\times(0 + 2)\times(0 - 4)$，即$2=a\times2\times(-4)$，$2=-8a$，解得$a=-\frac{1}{4}$，再将$a = -\frac{1}{4}$代入$y = a(x + 2)(x - 4)$并展开：$y=-\frac{1}{4}(x^{2}-4x + 2x-8)=-\frac{1}{4}(x^{2}-2x - 8)=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 2$。
【答案】：1.$y = -x^{2}-2x$ 2.$y=(x + 2)^{2}-3$ 3.$y = -\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 2$