《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

例2 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图象如图所示,它的顶点的横坐标为-1,由图象可知:
(1)关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两根为$x_{1}=1,x_{2}=$-3.
(2)关于x的不等式$ax^{2}+bx + c＞0$,则x的解集为$-3 ＜ x ＜ 1$.

答案： 【解析】：1. 对于例2的第
(1)问，已知抛物线顶点横坐标为$-1$，即对称轴为直线$x = - 1$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，根据抛物线的对称性，设另一个交点坐标为$(x,0)$，则$\frac{1 + x}{2}=-1$，解得$x=-3$，所以方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两根为$x_{1}=1,x_{2}=-3$。
2. 对于例2的第
(2)问，由图象可知，抛物线开口向下（因为二次函数图象与$x$轴有两个交点且部分图象给出的形状是开口向下），不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集就是抛物线在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围，所以$x$的解集为$-3 ＜ x ＜ 1$。
3. 对于变式，因为对称轴为直线$x = 1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，在二次函数$y = x^{2}+bx$中$a = 1$，所以$-\frac{b}{2\times1}=1$，可得$b = - 2$，则二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1$。当$x = 1$时，$y$取得最小值$y_{最小}=-1$；当$x=-1$时，$y = 1 + 2 = 3$；当$x = 4$时，$y = 16 - 2\times4 = 8$。又因为$x^{2}+bx - t = 0$的解相当于抛物线$y = x^{2}+bx$与直线$y = t$的交点的横坐标，要使方程在$-1 ＜ x ＜ 4$的范围内有解，结合函数图象可知，当$-1\leqslant t ＜ 8$时满足条件。
【答案】：1. -3 2. $-3 ＜ x ＜ 1$ 3. $-1\leqslant t ＜ 8$

例3 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成$30^{\circ}$角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有关系式$h = 20t-5t^{2}(t\geqslant0)$.解答以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要飞行多少时间?能，飞行1s或3s
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要飞行多少时间?能，飞行2s
(3)球的飞行高度能否达到20.5m?不能
(4)球从飞出到落地要用多少时间?4s

答案： 【解析】：1. 对于（1），将$h = 15$代入$h = 20t - 5t^{2}$，得到方程$15 = 20t - 5t^{2}$，为了方便求解，方程两边同时除以$-5$，变形为$t^{2}-4t + 3 = 0$。对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-4$，$c = 3$，根据求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times3 = 16 - 12 = 4$，$t=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm2}{2}$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=3$，所以球的飞行高度能达到$15m$，飞行$1s$或$3s$时高度为$15m$。
2. 对于（2），把$h = 20$代入$h = 20t - 5t^{2}$，得到$20 = 20t - 5t^{2}$，方程两边同时除以$-5$得$t^{2}-4t + 4 = 0$。这里$a = 1$，$b=-4$，$c = 4$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times4 = 16 - 16 = 0$，根据求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{4\pm0}{2}$，解得$t_{1}=t_{2}=2$，所以球的飞行高度能达到$20m$，飞行$2s$时高度为$20m$。
3. 对于（3），将$h = 20.5$代入$h = 20t - 5t^{2}$，得到$20.5 = 20t - 5t^{2}$，方程两边同时除以$-5$得$t^{2}-4t + 4.1 = 0$。这里$a = 1$，$b=-4$，$c = 4.1$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times4.1 = 16 - 16.4=-0.4\lt0$，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以此方程无实数根，即球的飞行高度不能达到$20.5m$。
4. 对于（4），球从飞出到落地时$h = 0$，把$h = 0$代入$h = 20t - 5t^{2}$，得到$0 = 20t - 5t^{2}$，方程两边同时除以$-5$得$t^{2}-4t = 0$，提取公因式$t$得$t(t - 4)=0$，则$t = 0$或$t - 4 = 0$，解得$t_{1}=0$，$t_{2}=4$，$0s$时球从地面飞出，$4s$时球落回地面，所以球从飞出到落地需要$4s$。
【答案】：1. 能，飞行$1s$或$3s$ 2. 能，飞行$2s$ 3. 不能 4. $4s$