《2025年快乐暑假天天练七年级数学生物》

6. 利用加减消元法解方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 10, ① } \\ { 3 x - 5 y = - 6, ② } \end{array} \right. $ 下列做法正确的是()
A. 要消去 $ y $,可以将 $ ① × 5 + ② × 2 $
B. 要消去 $ x $,可以将 $ ① × 5 + ② × 2 $
C. 要消去 $ y $,可以将 $ ① × 5 + ② × 3 $
D. 要消去 $ x $,可以将 $ ① × ( - 5 ) + ② × 2 $

答案： **分析消去$y$的方法：**
要消去$y$，需使$y$的系数绝对值相等，然后将两个方程相加或相减。
方程$①$中$y$的系数是$3$，方程$②$中$y$的系数是$-5$，$3$和$5$的最小公倍数是$15$。
为了使$y$的系数绝对值都变为$15$，可将方程$①$两边同时乘以$5$，得到$10x + 15y = -50$；将方程$②$两边同时乘以$3$，得到$9x - 15y = -18$。
此时两个方程中$y$的系数互为相反数，将这两个新方程相加，即$(10x + 15y)+(9x - 15y)= -50 + (-18)$，就可以消去$y$，也就是将$①×5 + ②×3$能消去$y$。
**分析消去$x$的方法：**
要消去$x$，需使$x$的系数绝对值相等，然后将两个方程相加或相减。
方程$①$中$x$的系数是$2$，方程$②$中$x$的系数是$3$，$2$和$3$的最小公倍数是$6$。
为了使$x$的系数绝对值都变为$6$，可将方程$①$两边同时乘以$3$，得到$6x + 9y = -30$；将方程$②$两边同时乘以$2$，得到$6x - 10y = -12$。
此时两个方程中$x$的系数相等，将这两个新方程相减，即$(6x + 9y)-(6x - 10y)= -30 - (-12)$，就可以消去$x$，也就是将$①×3 - ②×2$能消去$x$；也可以将方程$①$两边同时乘以$-3$，得到$-6x - 9y = 30$，再与方程$②$乘以$2$后的方程相加，即$(-6x - 9y)+(6x - 10y)= 30 + (-12)$，也就是将$①×(-3) + ②×2$能消去$x$。
C

1. 若 $ a + b = 5, a - b = 3 $,则 $ ab = $______。

答案： 已知$\begin{cases}a + b = 5\\a - b = 3\end{cases}$，将这两个方程相加可得：
$(a + b)+(a - b)=5 + 3$
$a + b + a - b = 8$
$2a = 8$
解得$a = 4$。
把$a = 4$代入$a + b = 5$，可得$4 + b = 5$，解得$b = 1$。
所以$ab = 4×1 = 4$。
$4$

2. 在解关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 6 x + m y = 3, ① } \\ { 2 x + n y = - 6 ② } \end{array} \right. $ 时,若 $ ① + ② $ 可以直接消去一个未知数,则 $ m, n $ 之间的数量关系可以用等式表示为______。

答案： $m + n = 0$

3. 若关于 $ x, y $ 的方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 - m, } \\ { 3 x + 2 y = m + 5 } \end{array} \right. $ 的解满足 $ y = x + 3 $,则 $ m = $______。

答案： 本题可先将$y = x + 3$代入方程组，得到关于$x$和$m$的方程组，然后求解$m$的值。
**步骤一：将$y = x + 3$代入原方程组**
把$y = x + 3$代入方程组$\begin{cases}2x + 3y = 4 - m \\3x + 2y = m + 5 \end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2x + 3(x + 3) = 4 - m \\3x + 2(x + 3) = m + 5 \end{cases}$
**步骤二：分别化简上述两个方程**
- 化简方程$2x + 3(x + 3) = 4 - m$：
去括号得$2x + 3x + 9 = 4 - m$，
合并同类项得$5x + 9 = 4 - m$，
移项得$5x = 4 - m - 9$，
即$5x = -m - 5$ ①。
- 化简方程$3x + 2(x + 3) = m + 5$：
去括号得$3x + 2x + 6 = m + 5$，
合并同类项得$5x + 6 = m + 5$，
移项得$5x = m + 5 - 6$，
即$5x = m - 1$ ②。
**步骤三：求解$m$的值**
由①②可得$-m - 5 = m - 1$，
移项得$-m - m = -1 + 5$，
合并同类项得$-2m = 4$，
系数化为$1$得$m = -2$。
$-2$

4. 甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元,因市场变化,甲商品降价 $ 10 \% $,乙商品提价 $ 40 \% $,调价后,两种商品的单价和比原来的单价和提高了 $ 20 \% $。若设甲、乙两种商品原来的单价分别为 $ x $ 元、$ y $ 元,则可列方程组为______。

答案： - **步骤一：根据甲、乙两种商品原来的单价和为$100$元列方程**
已知设甲、乙两种商品原来的单价分别为$x$元、$y$元，那么它们原来的单价和就是$x + y$元，又已知原来的单价和为$100$元，所以可列方程$x + y = 100$。
- **步骤二：根据调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了$20\%$列方程**
- 计算甲商品调价后的单价：甲商品原来单价为$x$元，降价$10\%$，则降价后的单价是$(1 - 10\%)x = 0.9x$元。
- 计算乙商品调价后的单价：乙商品原来单价为$y$元，提价$40\%$，则提价后的单价是$(1 + 40\%)y = 1.4y$元。
- 计算调价后两种商品的单价和：那么调价后两种商品的单价和为$0.9x + 1.4y$元。
- 计算原来单价和提高$20\%$后的价格：原来单价和为$100$元，提高$20\%$后的价格为$100\times(1 + 20\%) = 100\times1.2 = 120$元。
- 列出方程：因为调价后两种商品的单价和与原来单价和提高$20\%$后的价格相等，所以可列方程$0.9x + 1.4y = 100\times(1 + 20\%)$。
综上，可列方程组为$\begin{cases}x + y = 100\\0.9x + 1.4y = 100\times(1 + 20\%)\end{cases}$。
$\begin{cases}x + y = 100\\0.9x + 1.4y = 100\times(1 + 20\%)\end{cases}$

5. 古代算书《四元玉鉴》中有“二果问价”的问题：九百九十九文钱,甜果苦果买一千。甜果九个十一文,苦果七个四文钱,试问甜苦果几个？该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个,已知十一文钱可买九个甜果,四文钱可买七个苦果,那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了 $ x $ 个,苦果买了 $ y $ 个,根据题意,可列方程组是______。

答案： - **根据甜果和苦果的总数列方程：**
已知甜果买了$x$个，苦果买了$y$个，且甜果和苦果共买了$1000$个，所以可列方程$x + y = 1000$。
- **根据购买甜果和苦果花费的总钱数列方程：**
已知十一文钱可买九个甜果，则每个甜果的价格为$\frac{11}{9}$文钱，那么买$x$个甜果花费$\frac{11}{9}x$文钱；
又已知四文钱可买七个苦果，则每个苦果的价格为$\frac{4}{7}$文钱，那么买$y$个苦果花费$\frac{4}{7}y$文钱；
而总共花费了$999$文钱，所以可列方程$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999$。
综上，可列方程组为$\begin{cases}x + y = 1000\\\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999\end{cases}$。
$\begin{cases}x + y = 1000\\\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999\end{cases}$