《2025年快乐暑假天天练七年级数学生物》

2. 如图,在$\triangle ABC$中,边$AB的垂直平分线l_{1}与边BC相交于点D$,边$AC的垂直平分线l_{2}与边BC相交于点E$($D在E$的左侧).若$\triangle ADE的周长为8$,$∠DAE= 60^{\circ }$.
(1)求$BC$的长.
(2)求$∠BAC$的度数.

答案： $(1)$求$BC$的长
因为$l_{1}$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$DA = DB$。
同理，因为$l_{2}$是$AC$的垂直平分线，所以$EA = EC$。
已知$\triangle ADE$的周长为$8$，即$AD + DE + EA = 8$。
把$DA = DB$，$EA = EC$代入上式可得：$DB + DE + EC = 8$，而$DB + DE + EC=BC$，所以$BC = 8$。
$(2)$求$\angle BAC$的度数
因为$DA = DB$，所以$\angle B=\angle BAD$（等边对等角）；同理$EA = EC$，所以$\angle C=\angle CAE$。
在$\triangle ADE$中，$\angle ADE+\angle AED = 180^{\circ}-\angle DAE$，已知$\angle DAE = 60^{\circ}$，则$\angle ADE+\angle AED=180^{\circ}- 60^{\circ}=120^{\circ}$。
又因为$\angle ADE=\angle B+\angle BAD = 2\angle BAD$，$\angle AED=\angle C+\angle CAE = 2\angle CAE$，所以$2\angle BAD + 2\angle CAE=120^{\circ}$，即$\angle BAD+\angle CAE = 60^{\circ}$。
那么$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAE+\angle CAE=60^{\circ}+ 60^{\circ}=120^{\circ}$。
$(1)$$BC$的长为$\boldsymbol{8}$。
$(2)$$\angle BAC$的度数为$\boldsymbol{120^{\circ}}$。