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2. 阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1) 通过列方程说明“多边形的内角和不可能是$ 1520^{\circ} $”的理由.
(2) 求该多边形的内角和.
(1) 通过列方程说明“多边形的内角和不可能是$ 1520^{\circ} $”的理由.
(2) 求该多边形的内角和.
答案：
1. 设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n\geqslant3$且$n$为整数）。
- 若$(n - 2)\times180 = 1520$，则$n−2=\frac{1520}{180}=\frac{76}{9}$，$n=\frac{76}{9}+2=\frac{76 + 18}{9}=\frac{94}{9}$。
- 因为$n$不是整数，所以多边形的内角和不可能是$1520^{\circ}$。
2. 设这个多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$x$（$0\lt x\lt180$）。
- 由多边形内角和公式可得$(n - 2)\times180+x = 1520$，即$(n - 2)\times180=1520 - x$。
- 因为$(n - 2)\times180$是$180$的倍数，$1520\div180 = 8\cdots\cdots80$，所以$x = 80^{\circ}$。
- 当$x = 80^{\circ}$时，$(n - 2)\times180=1520 - 80=1440$。
1. 设多边形边数为$n$，由$(n - 2)\times180 = 1520$，得$n=\frac{94}{9}$，$n$不是整数，所以多边形内角和不可能是$1520^{\circ}$。
2. 该多边形内角和是$1440^{\circ}$。
- 若$(n - 2)\times180 = 1520$，则$n−2=\frac{1520}{180}=\frac{76}{9}$，$n=\frac{76}{9}+2=\frac{76 + 18}{9}=\frac{94}{9}$。
- 因为$n$不是整数，所以多边形的内角和不可能是$1520^{\circ}$。
2. 设这个多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$x$（$0\lt x\lt180$）。
- 由多边形内角和公式可得$(n - 2)\times180+x = 1520$，即$(n - 2)\times180=1520 - x$。
- 因为$(n - 2)\times180$是$180$的倍数，$1520\div180 = 8\cdots\cdots80$，所以$x = 80^{\circ}$。
- 当$x = 80^{\circ}$时，$(n - 2)\times180=1520 - 80=1440$。
1. 设多边形边数为$n$，由$(n - 2)\times180 = 1520$，得$n=\frac{94}{9}$，$n$不是整数，所以多边形内角和不可能是$1520^{\circ}$。
2. 该多边形内角和是$1440^{\circ}$。
3. 相信很多人家里都有“巧手妈妈”,图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫,图2是某学校操场铺的地砖. 它们或是用单独的正多边形,或是用多种正多边形混合拼接成的,拼成的图案严丝合缝,不留空隙. 从数学角度看,这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖,通常把这类问题叫作用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题.
(1) 如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由.
(2) 如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？如果能,应如何搭配进行平铺？请说明理由.
(1) 如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由.
(2) 如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？如果能,应如何搭配进行平铺？请说明理由.
答案：
（1）判断限用一种正三角形能否镶嵌成平面图形
多边形能镶嵌成平面图形的条件是：在一个拼接点处，几个多边形的内角和能组成$360^{\circ}$。
正三角形的内角和公式为$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n$为边数，$n\geqslant 3$且$n$为整数），则正三角形内角$\alpha=\frac{(3 - 2)\times180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$。
设用$n$个正三角形可以镶嵌成一个平面图形，那么$n\times60^{\circ}=360^{\circ}$，解得$n = 6$。
所以限用一种正三角形能镶嵌成一个平面图形。
（2）判断同时用正三角形和正十二边形能否镶嵌成平面图形
- 先求正十二边形内角：
根据多边形内角和公式$(n - 2)\times180^{\circ}$，正十二边形内角$\beta=\frac{(12 - 2)\times180^{\circ}}{12}=150^{\circ}$，正三角形内角$\alpha = 60^{\circ}$。
- 再设用$x$个正三角形和$y$个正十二边形可以镶嵌成一个平面图形，则$60x+150y=360$（$x$、$y$为正整数）。
化简方程$60x+150y=360$得$2x + 5y=12$。
当$y = 2$时，$2x+5\times2=12$，$2x=12 - 10$，$2x=2$，解得$x = 1$。
（1）能镶嵌成一个平面图形。
理由：正三角形内角为$\frac{(3 - 2)\times180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$，$360^{\circ}\div60^{\circ}=6$，即$6$个正三角形内角和为$360^{\circ}$，所以限用一种正三角形能镶嵌成一个平面图形。
（2）能镶嵌成一个平面图形，用$1$个正三角形和$2$个正十二边形搭配平铺。
理由：正三角形内角$60^{\circ}$，正十二边形内角$\frac{(12 - 2)\times180^{\circ}}{12}=150^{\circ}$，当$x = 1$，$y = 2$时，$60\times1+150\times2=60 + 300=360^{\circ}$，满足在一个拼接点处内角和为$360^{\circ}$，所以用$1$个正三角形和$2$个正十二边形能镶嵌成一个平面图形。
多边形能镶嵌成平面图形的条件是：在一个拼接点处，几个多边形的内角和能组成$360^{\circ}$。
正三角形的内角和公式为$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n$为边数，$n\geqslant 3$且$n$为整数），则正三角形内角$\alpha=\frac{(3 - 2)\times180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$。
设用$n$个正三角形可以镶嵌成一个平面图形，那么$n\times60^{\circ}=360^{\circ}$，解得$n = 6$。
所以限用一种正三角形能镶嵌成一个平面图形。
（2）判断同时用正三角形和正十二边形能否镶嵌成平面图形
- 先求正十二边形内角：
根据多边形内角和公式$(n - 2)\times180^{\circ}$，正十二边形内角$\beta=\frac{(12 - 2)\times180^{\circ}}{12}=150^{\circ}$，正三角形内角$\alpha = 60^{\circ}$。
- 再设用$x$个正三角形和$y$个正十二边形可以镶嵌成一个平面图形，则$60x+150y=360$（$x$、$y$为正整数）。
化简方程$60x+150y=360$得$2x + 5y=12$。
当$y = 2$时，$2x+5\times2=12$，$2x=12 - 10$，$2x=2$，解得$x = 1$。
（1）能镶嵌成一个平面图形。
理由：正三角形内角为$\frac{(3 - 2)\times180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$，$360^{\circ}\div60^{\circ}=6$，即$6$个正三角形内角和为$360^{\circ}$，所以限用一种正三角形能镶嵌成一个平面图形。
（2）能镶嵌成一个平面图形，用$1$个正三角形和$2$个正十二边形搭配平铺。
理由：正三角形内角$60^{\circ}$，正十二边形内角$\frac{(12 - 2)\times180^{\circ}}{12}=150^{\circ}$，当$x = 1$，$y = 2$时，$60\times1+150\times2=60 + 300=360^{\circ}$，满足在一个拼接点处内角和为$360^{\circ}$，所以用$1$个正三角形和$2$个正十二边形能镶嵌成一个平面图形。
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