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1. 已知$\triangle ABC的三边长为x$,$3$,$6$,$\triangle DEF的三边长为5$,$6$,$y$。若$\triangle ABC与\triangle DEF$全等,则$x + y$的值为______。
答案：
$8$
2. 如果一个多边形的内角和为$1800^{\circ}$,那么从这个多边形的一个顶点出发有______条对角线。
答案：
**步骤一：求多边形的边数**
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n\geqslant 3$且$n$为整数），已知该多边形内角和为$1800^{\circ}$，则可列出方程$(n - 2)\times180 = 1800$，
求解该方程：
$\begin{align}(n - 2)\times180 &= 1800\\n - 2 &= 1800\div180\\n - 2 &= 10\\n &= 10 + 2\\n &= 12\end{align}$
即这个多边形是十二边形。
**步骤二：求从一个顶点出发的对角线条数**
从$n$边形的一个顶点出发可引出$(n - 3)$条对角线，那么从十二边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为$12 - 3 = 9$（条）。
9
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n\geqslant 3$且$n$为整数），已知该多边形内角和为$1800^{\circ}$，则可列出方程$(n - 2)\times180 = 1800$，
求解该方程：
$\begin{align}(n - 2)\times180 &= 1800\\n - 2 &= 1800\div180\\n - 2 &= 10\\n &= 10 + 2\\n &= 12\end{align}$
即这个多边形是十二边形。
**步骤二：求从一个顶点出发的对角线条数**
从$n$边形的一个顶点出发可引出$(n - 3)$条对角线，那么从十二边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为$12 - 3 = 9$（条）。
9
3. 若关于$x$,$y的方程组\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}的解是\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}则方程组\begin{cases}5a_1x - 3b_1y = 4c_1,\\5a_2x - 3b_2y = 4c_2\end{cases}$的解是______。
答案：
已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 5\\y = 6\end{cases}$，对于方程组$\begin{cases}5a_1x - 3b_1y = 4c_1\\5a_2x - 3b_2y = 4c_2\end{cases}$，可将两个方程进行变形。
把方程组$\begin{cases}5a_1x - 3b_1y = 4c_1\\5a_2x - 3b_2y = 4c_2\end{cases}$变形为$\begin{cases}a_1\cdot\frac{5x}{4}+b_1\cdot(-\frac{3y}{4}) = c_1\\a_2\cdot\frac{5x}{4}+b_2\cdot(-\frac{3y}{4}) = c_2\end{cases}$。
对比方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$与变形后的方程组，可得$\frac{5x}{4}=5$且$-\frac{3y}{4}=6$。
由$\frac{5x}{4}=5$，解得$x = 4$；由$-\frac{3y}{4}=6$，解得$y=-8$。
$\begin{cases}x = 4\\y = - 8\end{cases}$
把方程组$\begin{cases}5a_1x - 3b_1y = 4c_1\\5a_2x - 3b_2y = 4c_2\end{cases}$变形为$\begin{cases}a_1\cdot\frac{5x}{4}+b_1\cdot(-\frac{3y}{4}) = c_1\\a_2\cdot\frac{5x}{4}+b_2\cdot(-\frac{3y}{4}) = c_2\end{cases}$。
对比方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$与变形后的方程组，可得$\frac{5x}{4}=5$且$-\frac{3y}{4}=6$。
由$\frac{5x}{4}=5$，解得$x = 4$；由$-\frac{3y}{4}=6$，解得$y=-8$。
$\begin{cases}x = 4\\y = - 8\end{cases}$
4. 如图,数轴上三点$M$,$O$,$N对应的数分别为-6$,$0$,$18$,点$P$为数轴上一动点。如果点$P以每分钟2个单位长度的速度从点O$向左运动,同时点$M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4$个单位长度的速度也向左运动。若$t分钟时点P到点M$,$N$的距离相等,则$t$的值为______。
答案：
**步骤一：分别表示出$t$分钟后点$M$、$P$、$N$所表示的数**
- 已知点$M$对应的数为$-6$，速度为每分钟$3$个单位长度且向左运动，根据“路程$=$速度$\times$时间”，$t$分钟后点$M$表示的数为$-6 - 3t$。
- 点$P$从点$O$（$0$）出发，速度为每分钟$2$个单位长度且向左运动，$t$分钟后点$P$表示的数为$-2t$。
- 点$N$对应的数为$18$，速度为每分钟$4$个单位长度且向左运动，$t$分钟后点$N$表示的数为$18 - 4t$。
- **步骤二：根据点$P$到点$M$，$N$的距离相等列方程**
根据数轴上两点间的距离公式$d=\vert a - b\vert$（$d$表示两点间的距离，$a$、$b$表示两点所对应的数），因为$t$分钟时点$P$到点$M$，$N$的距离相等，所以$\vert -2t-(-6 - 3t)\vert=\vert -2t-(18 - 4t)\vert$。
- 化简$\vert -2t-(-6 - 3t)\vert$：
$\vert -2t + 6 + 3t\vert=\vert t + 6\vert$。
- 化简$\vert -2t-(18 - 4t)\vert$：
$\vert -2t - 18 + 4t\vert=\vert 2t - 18\vert$。
则得到方程$\vert t + 6\vert=\vert 2t - 18\vert$。
根据绝对值的性质，绝对值相等的两个数相等或互为相反数，所以有$t + 6 = 2t - 18$或$t + 6=-(2t - 18)$。
- 当$t + 6 = 2t - 18$时：
移项可得$2t-t=6 + 18$，解得$t = 24$。
- 当$t + 6=-(2t - 18)$时：
去括号得$t + 6=-2t + 18$，移项可得$t+2t=18 - 6$，即$3t = 12$，解得$t = 4$。
$4$或$24$
- 已知点$M$对应的数为$-6$，速度为每分钟$3$个单位长度且向左运动，根据“路程$=$速度$\times$时间”，$t$分钟后点$M$表示的数为$-6 - 3t$。
- 点$P$从点$O$（$0$）出发，速度为每分钟$2$个单位长度且向左运动，$t$分钟后点$P$表示的数为$-2t$。
- 点$N$对应的数为$18$，速度为每分钟$4$个单位长度且向左运动，$t$分钟后点$N$表示的数为$18 - 4t$。
- **步骤二：根据点$P$到点$M$，$N$的距离相等列方程**
根据数轴上两点间的距离公式$d=\vert a - b\vert$（$d$表示两点间的距离，$a$、$b$表示两点所对应的数），因为$t$分钟时点$P$到点$M$，$N$的距离相等，所以$\vert -2t-(-6 - 3t)\vert=\vert -2t-(18 - 4t)\vert$。
- 化简$\vert -2t-(-6 - 3t)\vert$：
$\vert -2t + 6 + 3t\vert=\vert t + 6\vert$。
- 化简$\vert -2t-(18 - 4t)\vert$：
$\vert -2t - 18 + 4t\vert=\vert 2t - 18\vert$。
则得到方程$\vert t + 6\vert=\vert 2t - 18\vert$。
根据绝对值的性质，绝对值相等的两个数相等或互为相反数，所以有$t + 6 = 2t - 18$或$t + 6=-(2t - 18)$。
- 当$t + 6 = 2t - 18$时：
移项可得$2t-t=6 + 18$，解得$t = 24$。
- 当$t + 6=-(2t - 18)$时：
去括号得$t + 6=-2t + 18$，移项可得$t+2t=18 - 6$，即$3t = 12$，解得$t = 4$。
$4$或$24$
5. 若关于$x的不等式组\begin{cases}7x - a\geqslant 1,\\\dfrac{x + 5}{3}\geqslant x - 1\end{cases}有且仅有4$个整数解,且关于$m$,$n的二元一次方程组\begin{cases}m + 2n = 3,\\2m - 2n = a\end{cases}$的解为整数,则所有满足条件的整数$a$的和为______。
答案：
1. 首先解不等式组$\begin{cases}7x - a\geqslant1\\\dfrac{x + 5}{3}\geqslant x - 1\end{cases}$：
- 解不等式$7x - a\geqslant1$，移项可得$7x\geqslant a + 1$，解得$x\geqslant\frac{a + 1}{7}$。
- 解不等式$\frac{x + 5}{3}\geqslant x - 1$，去分母得$x + 5\geqslant3(x - 1)$，去括号得$x + 5\geqslant3x-3$，移项得$x-3x\geqslant - 3 - 5$，合并同类项得$-2x\geqslant - 8$，系数化为$1$得$x\leqslant4$。
- 所以不等式组的解集为$\frac{a + 1}{7}\leqslant x\leqslant4$。
- 因为不等式组有且仅有$4$个整数解，这$4$个整数解为$1$，$2$，$3$，$4$，则$0\lt\frac{a + 1}{7}\leqslant1$。
- 解不等式$0\lt\frac{a + 1}{7}$，两边同时乘以$7$得$0\lt a + 1$，即$a\gt - 1$；解不等式$\frac{a + 1}{7}\leqslant1$，两边同时乘以$7$得$a + 1\leqslant7$，即$a\leqslant6$，所以$-1\lt a\leqslant6$。
2. 然后解二元一次方程组$\begin{cases}m + 2n = 3\\2m - 2n = a\end{cases}$：
- 将方程组中两个方程相加，可得$(m + 2n)+(2m - 2n)=3 + a$，即$3m=3 + a$，解得$m=\frac{a + 3}{3}$。
- 把$m=\frac{a + 3}{3}$代入$m + 2n = 3$，得$\frac{a + 3}{3}+2n = 3$，移项得$2n=3-\frac{a + 3}{3}$，通分$2n=\frac{9-(a + 3)}{3}=\frac{9 - a - 3}{3}=\frac{6 - a}{3}$，解得$n=\frac{6 - a}{6}$。
- 因为方程组的解为整数，即$m=\frac{a + 3}{3}= \frac{a}{3}+1$和$n=\frac{6 - a}{6}=1-\frac{a}{6}$为整数，所以$a$是$3$和$6$的公倍数。
- 结合$-1\lt a\leqslant6$，则$a = 0$或$a = 6$。
3. 最后求满足条件的整数$a$的和：
- 满足条件的整数$a$为$0$和$6$，它们的和为$0 + 6=6$。
$6$
- 解不等式$7x - a\geqslant1$，移项可得$7x\geqslant a + 1$，解得$x\geqslant\frac{a + 1}{7}$。
- 解不等式$\frac{x + 5}{3}\geqslant x - 1$，去分母得$x + 5\geqslant3(x - 1)$，去括号得$x + 5\geqslant3x-3$，移项得$x-3x\geqslant - 3 - 5$，合并同类项得$-2x\geqslant - 8$，系数化为$1$得$x\leqslant4$。
- 所以不等式组的解集为$\frac{a + 1}{7}\leqslant x\leqslant4$。
- 因为不等式组有且仅有$4$个整数解，这$4$个整数解为$1$，$2$，$3$，$4$，则$0\lt\frac{a + 1}{7}\leqslant1$。
- 解不等式$0\lt\frac{a + 1}{7}$，两边同时乘以$7$得$0\lt a + 1$，即$a\gt - 1$；解不等式$\frac{a + 1}{7}\leqslant1$，两边同时乘以$7$得$a + 1\leqslant7$，即$a\leqslant6$，所以$-1\lt a\leqslant6$。
2. 然后解二元一次方程组$\begin{cases}m + 2n = 3\\2m - 2n = a\end{cases}$：
- 将方程组中两个方程相加，可得$(m + 2n)+(2m - 2n)=3 + a$，即$3m=3 + a$，解得$m=\frac{a + 3}{3}$。
- 把$m=\frac{a + 3}{3}$代入$m + 2n = 3$，得$\frac{a + 3}{3}+2n = 3$，移项得$2n=3-\frac{a + 3}{3}$，通分$2n=\frac{9-(a + 3)}{3}=\frac{9 - a - 3}{3}=\frac{6 - a}{3}$，解得$n=\frac{6 - a}{6}$。
- 因为方程组的解为整数，即$m=\frac{a + 3}{3}= \frac{a}{3}+1$和$n=\frac{6 - a}{6}=1-\frac{a}{6}$为整数，所以$a$是$3$和$6$的公倍数。
- 结合$-1\lt a\leqslant6$，则$a = 0$或$a = 6$。
3. 最后求满足条件的整数$a$的和：
- 满足条件的整数$a$为$0$和$6$，它们的和为$0 + 6=6$。
$6$
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