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6. 酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后,决定为家里的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板,在以下正多边形组合中,不能铺满地面的是()
A. 正八边形和正方形
B. 正五边形和正八边形
C. 正六边形和正三角形
D. 正三角形和正方形
A. 正八边形和正方形
B. 正五边形和正八边形
C. 正六边形和正三角形
D. 正三角形和正方形
答案：
**选项A：正八边形和正方形**
正八边形的每个内角为$135^{\circ}$，正方形的每个内角是$90^{\circ}$。设用$x$个正八边形和$y$个正方形可以铺满地面，则$135x + 90y = 360$，当$x = 2$，$y = 1$时，方程成立，所以正八边形和正方形能铺满地面。
**选项B：正五边形和正八边形**
正五边形每个内角是$108^{\circ}$，正八边形的每个内角为$135^{\circ}$。设用$m$个正五边形和$n$个正八边形可以铺满地面，则$108m + 135n = 360$，整理可得$12m + 15n = 40$。因为$m$、$n$为正整数，此方程无正整数解，所以正五边形和正八边形不能铺满地面。
**选项C：正六边形和正三角形**
正六边形的每个内角是$120^{\circ}$，正三角形的每个内角是$60^{\circ}$。设用$a$个正六边形和$b$个正三角形可以铺满地面，则$120a + 60b = 360$，当$a = 1$，$b = 4$或$a = 2$，$b = 2$时方程成立，所以正六边形和正三角形能铺满地面。
**选项D：正三角形和正方形**
正三角形的每个内角是$60^{\circ}$，正方形的每个内角是$90^{\circ}$。设用$c$个正三角形和$d$个正方形可以铺满地面，则$60c + 90d = 360$，当$c = 3$，$d = 2$时方程成立，所以正三角形和正方形能铺满地面。
B
正八边形的每个内角为$135^{\circ}$，正方形的每个内角是$90^{\circ}$。设用$x$个正八边形和$y$个正方形可以铺满地面，则$135x + 90y = 360$，当$x = 2$，$y = 1$时，方程成立，所以正八边形和正方形能铺满地面。
**选项B：正五边形和正八边形**
正五边形每个内角是$108^{\circ}$，正八边形的每个内角为$135^{\circ}$。设用$m$个正五边形和$n$个正八边形可以铺满地面，则$108m + 135n = 360$，整理可得$12m + 15n = 40$。因为$m$、$n$为正整数，此方程无正整数解，所以正五边形和正八边形不能铺满地面。
**选项C：正六边形和正三角形**
正六边形的每个内角是$120^{\circ}$，正三角形的每个内角是$60^{\circ}$。设用$a$个正六边形和$b$个正三角形可以铺满地面，则$120a + 60b = 360$，当$a = 1$，$b = 4$或$a = 2$，$b = 2$时方程成立，所以正六边形和正三角形能铺满地面。
**选项D：正三角形和正方形**
正三角形的每个内角是$60^{\circ}$，正方形的每个内角是$90^{\circ}$。设用$c$个正三角形和$d$个正方形可以铺满地面，则$60c + 90d = 360$，当$c = 3$，$d = 2$时方程成立，所以正三角形和正方形能铺满地面。
B
1. 一个正多边形的一个内角恰好是一个外角的4倍,则这个正多边形是正______边形.
答案：
十
2. 要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,至少要再钉______根木条.
答案：
$2$
3. 如图,在△ABC中,$ AB = 9 $,$ AC = 7 $,AD为中线,则△ABD与△ACD的周长之差为______.
答案：
**步骤一：分别表示出$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的周长**
根据三角形周长的定义：三角形的周长是三角形三边长度之和。
- $\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$。
- $\triangle ACD$的周长为$AC + CD + AD$。
**步骤二：求$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的周长之差**
用$\triangle ABD$的周长减去$\triangle ACD$的周长可得：
$(AB + BD + AD)-(AC + CD + AD)$
去括号得：$AB + BD + AD - AC - CD - AD$
合并同类项得：$AB - AC + BD - CD$
**步骤三：根据中线的性质化简上式**
因为$AD$为中线，根据中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以$D$为$BC$的中点，即$BD = CD$。
将$BD = CD$代入$AB - AC + BD - CD$可得：$AB - AC + BD - BD = AB - AC$。
**步骤四：代入$AB$与$AC$的值计算结果**
已知$AB = 9$，$AC = 7$，将其代入$AB - AC$可得：$9 - 7 = 2$。
$2$
根据三角形周长的定义：三角形的周长是三角形三边长度之和。
- $\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$。
- $\triangle ACD$的周长为$AC + CD + AD$。
**步骤二：求$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的周长之差**
用$\triangle ABD$的周长减去$\triangle ACD$的周长可得：
$(AB + BD + AD)-(AC + CD + AD)$
去括号得：$AB + BD + AD - AC - CD - AD$
合并同类项得：$AB - AC + BD - CD$
**步骤三：根据中线的性质化简上式**
因为$AD$为中线，根据中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以$D$为$BC$的中点，即$BD = CD$。
将$BD = CD$代入$AB - AC + BD - CD$可得：$AB - AC + BD - BD = AB - AC$。
**步骤四：代入$AB$与$AC$的值计算结果**
已知$AB = 9$，$AC = 7$，将其代入$AB - AC$可得：$9 - 7 = 2$。
$2$
4. 某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形(四个尖角的度数相同)铺成的无缝隙、不重叠的图形,如图是该广场地面的一部分,则图中四角星形的尖角$ ∠ABC $的度数为______.
答案：
首先求正五边形内角：
- 根据多边形内角和公式$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n$为边数，$n\geqslant 3$且$n$为整数），对于正五边形，$n = 5$，则其内角和为$(5 - 2)\times180^{\circ}=540^{\circ}$。
- 因为正五边形的$5$个内角都相等，所以每个内角$\angle BCD=\frac{(5 - 2)\times180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$。
- 然后求$\angle CBD$：
- 由图可知，在点$B$处，围绕一点的角的和为$360^{\circ}$，$\angle CBD$与正五边形内角$\angle BCD$相关。
- 因为$\angle CBD = 360^{\circ}-2\times108^{\circ}=144^{\circ}$。
- 最后求$\angle ABC$：
- 在$\triangle ABC$中（四角星形的一个角部分），$\angle ABC=\frac{180^{\circ}-\angle CBD}{2}$（四角星形四个尖角度数相同，利用三角形内角和$180^{\circ}$以及对称性）。
- 把$\angle CBD = 144^{\circ}$代入可得$\angle ABC=\frac{180^{\circ}-144^{\circ}}{2}=36^{\circ}$。
$36^{\circ}$
- 根据多边形内角和公式$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n$为边数，$n\geqslant 3$且$n$为整数），对于正五边形，$n = 5$，则其内角和为$(5 - 2)\times180^{\circ}=540^{\circ}$。
- 因为正五边形的$5$个内角都相等，所以每个内角$\angle BCD=\frac{(5 - 2)\times180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$。
- 然后求$\angle CBD$：
- 由图可知，在点$B$处，围绕一点的角的和为$360^{\circ}$，$\angle CBD$与正五边形内角$\angle BCD$相关。
- 因为$\angle CBD = 360^{\circ}-2\times108^{\circ}=144^{\circ}$。
- 最后求$\angle ABC$：
- 在$\triangle ABC$中（四角星形的一个角部分），$\angle ABC=\frac{180^{\circ}-\angle CBD}{2}$（四角星形四个尖角度数相同，利用三角形内角和$180^{\circ}$以及对称性）。
- 把$\angle CBD = 144^{\circ}$代入可得$\angle ABC=\frac{180^{\circ}-144^{\circ}}{2}=36^{\circ}$。
$36^{\circ}$
1. 如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,$ ∠A = 72^{\circ} $,CE平分$ ∠ACB $交BD于点E,$ ∠BEC = 115^{\circ} $,求$ ∠ABC $的度数.
答案：
因为$BD$是$AC$边上的高，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABD=180^{\circ}-\angle A - \angle ADB$，已知$\angle A = 72^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，则$\angle ABD = 180^{\circ}-72^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}$。
因为$\angle BEC$是$\triangle BED$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$\angle BEC=\angle EDB+\angle ECD$。
已知$\angle BEC = 115^{\circ}$，$\angle EDB = 90^{\circ}$，则$\angle ECD=\angle BEC-\angle EDB=115^{\circ}-90^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACB = 2\angle ECD$，即$\angle ACB=2\times25^{\circ}=50^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle ACB$，把$\angle A = 72^{\circ}$，$\angle ACB = 50^{\circ}$代入，得$\angle ABC=180^{\circ}-72^{\circ}-50^{\circ}=58^{\circ}$。
$\angle ABC$的度数为$58^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABD=180^{\circ}-\angle A - \angle ADB$，已知$\angle A = 72^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，则$\angle ABD = 180^{\circ}-72^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}$。
因为$\angle BEC$是$\triangle BED$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$\angle BEC=\angle EDB+\angle ECD$。
已知$\angle BEC = 115^{\circ}$，$\angle EDB = 90^{\circ}$，则$\angle ECD=\angle BEC-\angle EDB=115^{\circ}-90^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACB = 2\angle ECD$，即$\angle ACB=2\times25^{\circ}=50^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle ACB$，把$\angle A = 72^{\circ}$，$\angle ACB = 50^{\circ}$代入，得$\angle ABC=180^{\circ}-72^{\circ}-50^{\circ}=58^{\circ}$。
$\angle ABC$的度数为$58^{\circ}$。
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