《2025年快乐暑假天天练七年级数学生物》

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 120^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转得到 $ \triangle DEC $,点 $ A,B $ 的对应点分别为 $ D,E $,连结 $ AD $. 当点 $ A,D,E $ 在同一条直线上时,有下列结论：① $ \angle B = \angle BCD $,② $ CB = CD $,③ $ DE + DC = AE $,④ $ \angle BCD + \angle ADC = 90^{\circ} $. 其中一定正确的是()

A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ①③④

答案： 因为$\triangle ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$\triangle DEC$，所以$CB = CE$，$CD = CA$，$\angle ECD=\angle BCA$，$\angle B=\angle E$，$DE = AB$。
由于点$A$，$D$，$E$在同一条直线上，且$CD = CA$，$\angle ECD=\angle BCA$，那么$\angle ECD-\angle ACD=\angle BCA-\angle ACD$，即$\angle ACE=\angle BCD$。又因为$CD = CA$，$\angle ADC=\angle CAD$。已知$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle CAD = 60^{\circ}$，则$\triangle ADC$是等边三角形，$\angle DCA = 60^{\circ}$。
- 因为$\angle BAC = 120^{\circ}$，$\angle CAD = 60^{\circ}$，所以$\angle BAD = 60^{\circ}$，$\angle B+\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ACB+\angle BCD = 60^{\circ}$，所以$\angle B=\angle BCD$，故①正确。
- 仅根据已知条件无法得出$CB = CD$，故②错误。
- 因为$DE = AB$，$DC = AC$，$AE=AD + DE$，$\triangle ADC$是等边三角形，$AD = AC = DC$，所以$DE+DC = AB + AC=AB + AD = AE$，故③正确。
- 因为$\angle BCD=\angle B$，$\angle B+\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle DCA = 60^{\circ}$，$\angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle BCD+\angle ACB=\angle DCA = 60^{\circ}$，所以$\angle BCD+\angle ADC=60^{\circ}+ \angle BCD\neq90^{\circ}$，故④错误。
B

1. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 4 - mx = - 3(x + 1) $ 有整数解,则正整数 $ m $ 的所有可能的取值之和为______.

答案： 首先对给定方程进行求解：
已知方程$4 - mx = - 3(x + 1)$，
去括号得$4 - mx=-3x - 3$，
移项得$-mx + 3x=-3 - 4$，
合并同类项得$(3 - m)x=-7$，
系数化为$1$得$x=\frac{7}{m - 3}$。
因为方程有整数解，且$m$是正整数，
那么$m - 3$是$7$的因数，$7$的因数有$\pm1$，$\pm7$。
当$m - 3 = 1$时，$m = 4$，此时$x = 7$；
当$m - 3 = 7$时，$m = 10$，此时$x = 1$；
当$m - 3=-1$时，$m = 2$，此时$x=-7$；
当$m - 3=-7$时，$m=-4$（不符合$m$是正整数，舍去）。
所以正整数$m$的值为$4$，$10$，$2$，它们的和为$4 + 10+2 = 16$。
$16$

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 70^{\circ} $,根据作图痕迹推断 $ \angle BOC $ 的度数为______.

答案： 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 70^{\circ}$，根据三角形内角和为 $180^{\circ}$，可得 $\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
因为 $OB$ 平分 $\angle ABC$，$OC$ 平分 $\angle ACB$，所以 $\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB$，则 $\angle OBC + \angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\frac{1}{2}\times110^{\circ}=55^{\circ}$。
在 $\triangle BOC$ 中，再根据三角形内角和为 $180^{\circ}$，可得 $\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
$125^{\circ}$

3. 对于 $ x $,符号 $ [x] $ 表示不大于 $ x $ 的最大整数. 如 $ [3.14] = 3,[-7.59] = - 8 $,则满足关系式 $ [\frac{3x + 7}{7}] = 4 $ 的 $ x $ 的整数值有______个.

答案： 因为符号$[x]$表示不大于$x$的最大整数，且$[\frac{3x + 7}{7}]=4$，所以$4\leqslant\frac{3x + 7}{7}＜5$。
先解不等式$4\leqslant\frac{3x + 7}{7}$，
两边同时乘以$7$得：$4\times7\leqslant3x + 7$，
即$28\leqslant3x + 7$，
移项可得：$3x\geqslant28 - 7$，
$3x\geqslant21$，
两边同时除以$3$得：$x\geqslant7$。
再解不等式$\frac{3x + 7}{7}＜5$，
两边同时乘以$7$得：$3x + 7＜5\times7$，
即$3x + 7＜35$，
移项可得：$3x＜35 - 7$，
$3x＜28$，
两边同时除以$3$得：$x＜\frac{28}{3}\approx9.33$。
所以$x$的取值范围是$7\leqslant x＜\frac{28}{3}$，满足该范围的整数$x$有$7$、$8$、$9$，共$3$个。
$3$

4. 如图是可调躺椅示意图(数据如图),$ AE $ 与 $ BD $ 的交点为 $ C $,且 $ \angle A,\angle B,\angle E $ 保持不变. 为了舒适,需调整 $ \angle D $ 的大小,使 $ \angle EFD = 110^{\circ} $,则图中 $ \angle D $ 应______(填“增加”或“减少”)______度.

答案： 本题可先根据三角形外角的性质求出$\angle DCE$的度数，再利用三角形外角的性质求出调整前$\angle D$的度数，最后求出调整后$\angle D$的度数，进而判断$\angle D$的变化情况。
步骤一：求$\angle DCE$的度数
已知$\angle CAB = 180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$\angle DCE=\angle CAB+\angle ABC$。
将$\angle CAB = 130^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$代入可得：$\angle DCE=130^{\circ}+60^{\circ}=140^{\circ}$。
步骤二：求调整前$\angle D$的度数
已知$\angle DCE = 140^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$，在$\triangle DCF$中，$\angle DCE$是$\triangle DCF$的外角，根据三角形外角的性质可得$\angle DCE=\angle D+\angle E+\angle DFE$（此时$\angle DFE$为$\angle D$、$\angle E$ 所在三角形的外角）。
因为$\angle DFE$与$\angle DFC$互补，$\angle DFC$是$\triangle DFE$的内角，所以$\angle DFE = 180^{\circ}-\angle EFD$，当$\angle EFD$未调整时，$\angle DFE = 180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle D - \angle E)= \angle D+\angle E$（三角形内角和为$180^{\circ}$），即$\angle DCE=\angle D+\angle E + (180^{\circ}-\angle EFD)$（这里$\angle EFD$是原来的角度）。
原来$\angle EFD = 180^{\circ}-20^{\circ}-\angle D$（三角形内角和为$180^{\circ}$），我们换一种方法，在$\triangle DCF$和$\triangle ECF$中，根据外角关系$\angle DCE=\angle D + \angle DFC$，$\angle DFC=\angle E+\angle EFD$（原来$\angle EFD = 180^{\circ}-20^{\circ}-\angle D$这种方法较复杂，我们用常规外角性质：
因为$\angle DCE$是$\triangle CBE$的外角，$\angle DCE=\angle A+\angle B = 130^{\circ}+60^{\circ}=140^{\circ}$，又因为$\angle DCE=\angle D+\angle E+\angle DFE$（$\angle DFE$是$\triangle DEF$的外角，$\angle DFE=\angle D + \angle E$ 这种理解有误，正确的是：在$\triangle DCF$中，$\angle DCE$是外角，$\angle DCE=\angle D+\angle DFC$，在$\triangle EFC$中，$\angle DFC=\angle E+\angle EFD$（原来$\angle EFD = 180^{\circ}- 20^{\circ}-\angle D$不对，重新来，根据三角形外角性质$\angle DCE=\angle A+\angle B=130^{\circ} + 60^{\circ}=140^{\circ}$，在$\triangle DEF$中，$\angle EFD$的外角$=\angle D+\angle E$，而$\angle DCE$是$\triangle CBE$外角$=\angle A+\angle B = 140^{\circ}$，又因为$\angle DCE$是$\triangle DCF$外角$=\angle D+\angle DFC$，$\angle DFC$是$\triangle EFC$外角$=\angle E+\angle EFD$（原来的$\angle EFD$ ），所以$\angle DCE=\angle D+\angle E+$原来的$\angle EFD$，原来$\angle EFD = 180^{\circ}-\angle DFE$（$\angle DFE$是$\triangle DEF$内角），不对，正确如下：
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=180^{\circ}-\angle CAB - \angle ABC=180^{\circ}-130^{\circ}-60^{\circ}$（不对，$\angle CAB = 130^{\circ}$错，$\angle CAB = 180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$是$\angle CAB$的邻补角，$\angle CAB = 50^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle ACB=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$，$\angle DCE=\angle ACB = 70^{\circ}$（对顶角相等）。
在$\triangle DEF$中，根据三角形外角性质$\angle EFD=\angle D+\angle DCE+\angle E$（$\angle EFD$ 是$\triangle DCF$外角$=\angle D+\angle DCF$，$\angle DCF=\angle DCE$（对顶角），$\angle DCE$在$\triangle CBE$中$\angle DCE=\angle A+\angle B$（外角性质）不对，重新：
因为$\angle DCE$与$\angle ACB$是对顶角，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle CAB-\angle ABC=180^{\circ}-(180^{\circ}-50^{\circ})-60^{\circ}=70^{\circ}$，所以$\angle DCE = 70^{\circ}$。
在$\triangle DEF$中，根据三角形外角性质$\angle EFD=\angle D+\angle DCE+\angle E$（$\angle EFD$是$\triangle DCF$外角$=\angle D+\angle DCF$，$\angle DCF=\angle DCE$，$\angle DCE$是$\triangle CBE$外角$=\angle A+\angle B$不对，正确：
在$\triangle DEF$中，$\angle EFD$的外角$=\angle D+\angle E$（不对），正确是在$\triangle DCF$中，$\angle EFD$（原来）是外角，$\angle EFD=\angle D+\angle DCF$，$\angle DCF=\angle DCE$（对顶角），$\angle DCE=\angle A+\angle B$（外角性质，$\angle CAB = 50^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$），所以$\angle DCE=50^{\circ}+60^{\circ}=110^{\circ}$（错，$\angle CAB = 50^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ACB=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$，$\angle DCE=\angle ACB = 70^{\circ}$（对顶角）。
在$\triangle DEF$中，根据三角形外角性质（$\angle EFD$是$\triangle DCF$外角）$\angle EFD=\angle D+\angle DCE+\angle E$（错），正确：$\angle EFD$是$\triangle DCF$外角，$\angle EFD=\angle D+\angle DCF$，$\angle DCF=\angle DCE$（对顶角），$\angle DCE = 180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$，原来$\angle EFD = \angle D + 70^{\circ}+30^{\circ}$（$\angle E = 30^{\circ}$），因为原来$\angle EFD=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$（$\angle DFE = 20^{\circ}$，$\angle EFD$与$\angle DFE$互补），所以$160^{\circ}=\angle D+70^{\circ}+30^{\circ}$，解得$\angle D = 60^{\circ}$。
步骤三：求调整后$\angle D$的度数
当$\angle EFD = 110^{\circ}$时，因为$\angle EFD=\angle D+\angle DCE+\angle E$（$\angle EFD$是$\triangle DCF$外角$=\angle D+\angle DCF$，$\angle DCF=\angle DCE$（对顶角），$\angle DCE = 70^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$），即$110^{\circ}=\angle D+70^{\circ}+30^{\circ}$，
移项可得$\angle D=110^{\circ}-70^{\circ}-30^{\circ}=10^{\circ}$。
步骤四：判断$\angle D$的变化情况
调整前$\angle D = 60^{\circ}$，调整后$\angle D = 10^{\circ}$，$60^{\circ}-10^{\circ}=50^{\circ}$，所以$\angle D$应减少$10^{\circ}$。
减少 $10$