《2025年快乐暑假天天练七年级数学生物》

3. 光明中学为提升学生的阅读品味,决定购买第十届茅盾文学奖的获奖作品《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)共50本. 已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同.
(1)《北上》和《牵风记》的单价分别为多少元？
(2)若学校购买《北上》的数量多于17本,且购买两种书的总价不超过1600元,则有几种购买方案？最低费用为多少元？

答案： 1. 设《北上》的单价为$x$元，《牵风记》的单价为$y$元。
- 根据“购买$2$本《北上》和$1$本《牵风记》需$100$元”，可列方程$2x + y = 100$。
- 根据“购买$6$本《北上》与购买$7$本《牵风记》的价格相同”，可列方程$6x = 7y$。
- 由$2x + y = 100$可得$y = 100 - 2x$，将其代入$6x = 7y$中，得到$6x = 7(100 - 2x)$。
- 展开括号得$6x = 700 - 14x$。
- 移项得$6x + 14x = 700$，即$20x = 700$，解得$x = 35$。
- 把$x = 35$代入$y = 100 - 2x$，得$y = 100 - 2×35 = 100 - 70 = 30$。
- 所以《北上》的单价为$35$元，《牵风记》的单价为$30$元。
2. 设购买《北上》$m$本，则购买《牵风记》$(50 - m)$本。
- 因为学校购买《北上》的数量多于$17$本，所以$m＞17$。
- 又因为购买两种书的总价不超过$1600$元，所以$35m + 30(50 - m)\leq1600$。
- 展开括号得$35m + 1500 - 30m\leq1600$。
- 移项得$35m - 30m\leq1600 - 1500$，即$5m\leq100$，解得$m\leq20$。
- 综上，$17 ＜ m\leq20$，因为$m$为正整数，所以$m$的值为$18$、$19$、$20$，共$3$种购买方案。
3. 设购买两种书的总费用为$w$元，则$w = 35m + 30(50 - m)=35m + 1500 - 30m = 5m + 1500$。
- 因为$5＞0$，所以$w$随$m$的增大而增大。
- 当$m = 18$时，$w$有最小值，$w_{最小}=5×18 + 1500 = 90 + 1500 = 1590$（元）。
1. 《北上》的单价为$35$元，《牵风记》的单价为$30$元。
2. 有$3$种购买方案，最低费用为$1590$元。

4. 五一期间,七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩. 请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话,解答下列问题：
| 景区票价 |
| :---: |
| 成人票：每张90元. |
| 学生票：按成人票价五折优惠. |
| 团体票：按成人票价七五折优惠(10张及以上). |
(1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人.
(2)通过计算能否说明：家长和学生一起购买团体票比分开购买更省钱？

答案： $(1)$求参加游玩的家长和学生人数
设这次参加游玩的家长有$x$人，则学生有$(9 - x)$人。
已知成人票每张$90$元，学生票按成人票价五折优惠，即学生票每张$90\times0.5 = 45$元，家长和学生分别购买成人票和学生票共需$630$元，可列方程：
$90x + 45\times(9 - x)=630$
去括号得：$90x + 405 - 45x = 630$
移项得：$90x - 45x = 630 - 405$
合并同类项得：$45x = 225$
系数化为$1$得：$x = 5$
则学生人数为$9 - 5 = 4$（人）
$(2)$比较分开买与买团体票的费用
已知团体票按成人票价七五折优惠（$10$张及以上），团体票每张$90\times0.75 = 67.5$元，购买$10$张团体票的费用为$67.5\times10 = 675$元。
而分开购买的费用是$630$元。
$(1)$设家长有$x$人，则学生有$(9 - x)$人，根据题意列方程$90x + 45\times(9 - x)=630$，解得$x = 5$，学生人数为$9 - 5 = 4$人。所以这次参加游玩的家长有$5$人，学生有$4$人。
$(2)$购买$10$张团体票费用为$90\times0.75\times10 = 675$元，因为$630\lt675$，所以家长和学生一起购买团体票**不比**分开购买更省钱。