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2.生活常识告诉我们：糖水里再添加糖,在糖完全溶解的情况下,糖水会变得更甜.我们把含糖的质量与糖水质量的比值称为甜度,甜度越大糖水越甜.小观现在有一杯质量为100克的糖水,其中含有a克糖(0＜a＜100)；他尝了一下感觉不够甜,又向其中添加了10克糖,并搅拌至完全溶解.
(1)这杯糖水原来的甜度为 ,加糖后的甜度为 .
(2)根据加糖前后的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于10%,又不超过15%.如果上述操作后甜度符合要求,那么a应该在什么范围？
(1)这杯糖水原来的甜度为 ,加糖后的甜度为 .
(2)根据加糖前后的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于10%,又不超过15%.如果上述操作后甜度符合要求,那么a应该在什么范围？
答案：
1. （1）根据甜度的定义，即含糖的质量与糖水质量的比值，原来糖水质量为$100$克，其中含糖$a$克，所以原来的甜度为$\frac{a}{100}$；添加$10$克糖后，糖的质量变为$(a + 10)$克，糖水质量变为$(100 + 10)=110$克，所以加糖后的甜度为$\frac{a + 10}{110}$。
2. （2）要证明加糖后变甜了，即证明$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$。
- 首先对$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}$进行通分，$110$和$100$的最小公倍数是$1100$，则$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}=\frac{10(a + 10)}{1100}-\frac{11a}{1100}$。
- 然后根据同分母分数的减法法则，$\frac{10(a + 10)}{1100}-\frac{11a}{1100}=\frac{10a+100 - 11a}{1100}=\frac{100 - a}{1100}$。
- 因为$0\lt a\lt100$，所以$100 - a＞0$，那么$\frac{100 - a}{1100}＞0$，即$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}＞0$，所以$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$，说明加糖后确实变甜了。
3. （3）已知甜度应不低于$10\%$，又不超过$15\%$，即$10\%\leq\frac{a + 10}{110}\leq15\%$。
- 先解不等式$\frac{a + 10}{110}\geq10\%$，将$10\%$化为$\frac{10}{100}=\frac{11}{110}$，则$\frac{a + 10}{110}\geq\frac{11}{110}$，根据不等式的基本性质，两边同时乘以$110$，不等号方向不变，得到$a + 10\geq11$，移项可得$a\geq11 - 10$，即$a\geq1$。
- 再解不等式$\frac{a + 10}{110}\leq15\%$，将$15\%$化为$\frac{15}{100}=\frac{33}{220}=\frac{16.5}{110}$，则$\frac{a + 10}{110}\leq\frac{16.5}{110}$，根据不等式的基本性质，两边同时乘以$110$，不等号方向不变，得到$a + 10\leq16.5$，移项可得$a\leq16.5 - 10$，即$a\leq6.5$。
1. （1）$\frac{a}{100}$；$\frac{a + 10}{110}$
2. （2）证明过程如上述解析，因为$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}=\frac{100 - a}{1100}$，且$0\lt a\lt100$，所以$\frac{100 - a}{1100}＞0$，即$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$，所以加糖后变甜了。
3. （3）$1\leq a\leq6.5$
2. （2）要证明加糖后变甜了，即证明$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$。
- 首先对$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}$进行通分，$110$和$100$的最小公倍数是$1100$，则$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}=\frac{10(a + 10)}{1100}-\frac{11a}{1100}$。
- 然后根据同分母分数的减法法则，$\frac{10(a + 10)}{1100}-\frac{11a}{1100}=\frac{10a+100 - 11a}{1100}=\frac{100 - a}{1100}$。
- 因为$0\lt a\lt100$，所以$100 - a＞0$，那么$\frac{100 - a}{1100}＞0$，即$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}＞0$，所以$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$，说明加糖后确实变甜了。
3. （3）已知甜度应不低于$10\%$，又不超过$15\%$，即$10\%\leq\frac{a + 10}{110}\leq15\%$。
- 先解不等式$\frac{a + 10}{110}\geq10\%$，将$10\%$化为$\frac{10}{100}=\frac{11}{110}$，则$\frac{a + 10}{110}\geq\frac{11}{110}$，根据不等式的基本性质，两边同时乘以$110$，不等号方向不变，得到$a + 10\geq11$，移项可得$a\geq11 - 10$，即$a\geq1$。
- 再解不等式$\frac{a + 10}{110}\leq15\%$，将$15\%$化为$\frac{15}{100}=\frac{33}{220}=\frac{16.5}{110}$，则$\frac{a + 10}{110}\leq\frac{16.5}{110}$，根据不等式的基本性质，两边同时乘以$110$，不等号方向不变，得到$a + 10\leq16.5$，移项可得$a\leq16.5 - 10$，即$a\leq6.5$。
1. （1）$\frac{a}{100}$；$\frac{a + 10}{110}$
2. （2）证明过程如上述解析，因为$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}=\frac{100 - a}{1100}$，且$0\lt a\lt100$，所以$\frac{100 - a}{1100}＞0$，即$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$，所以加糖后变甜了。
3. （3）$1\leq a\leq6.5$
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