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3. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,以点$A$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$AC$,$AB于点M$,$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac {1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点$P$,作射线$AP交BC于点D$.若$CD= \frac {5}{2}$,$AB= 10$,则$\triangle ABD$的面积是______.
答案：
本题可先根据作图步骤得出$AD$是角平分线，再利用角平分线的性质求出$D$到$AB$的距离，最后根据三角形面积公式求解$\triangle ABD$的面积。
步骤一：分析$AD$的性质
根据作图过程可知，$AD$是$\angle BAC$的平分线。
因为$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = CD$。
已知$CD=\frac{5}{2}$，所以$DE=\frac{5}{2}$。
步骤二：计算$\triangle ABD$的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为这条底对应的高）。
在$\triangle ABD$中，$AB$为底，$DE$为$AB$边上的高，已知$AB = 10$，$DE=\frac{5}{2}$。
将$AB = 10$，$DE=\frac{5}{2}$代入三角形面积公式可得：
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times AB\times DE=\frac{1}{2}\times10\times\frac{5}{2}= \frac{25}{2}$
$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$
步骤一：分析$AD$的性质
根据作图过程可知，$AD$是$\angle BAC$的平分线。
因为$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = CD$。
已知$CD=\frac{5}{2}$，所以$DE=\frac{5}{2}$。
步骤二：计算$\triangle ABD$的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为这条底对应的高）。
在$\triangle ABD$中，$AB$为底，$DE$为$AB$边上的高，已知$AB = 10$，$DE=\frac{5}{2}$。
将$AB = 10$，$DE=\frac{5}{2}$代入三角形面积公式可得：
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times AB\times DE=\frac{1}{2}\times10\times\frac{5}{2}= \frac{25}{2}$
$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$
4. 如图,$AB= 4\mathrm{c}\mathrm{m}$,$BC= 5\mathrm{c}\mathrm{m}$,$AC= 2\mathrm{c}\mathrm{m}$,将$\triangle ABC沿BC方向平移a\mathrm{c}\mathrm{m}(0\lt a＜5)$,得到$\triangle DEF$,连结$AD$,则阴影部分的周长为______$\mathrm{c}\mathrm{m}$.
答案：
本题可根据平移的性质，得到对应线段相等，再通过等量代换求出阴影部分的周长。
- **步骤一：根据平移性质得到相关线段的关系**
根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等 ，对应点所连接的线段平行且相等。
已知$\triangle ABC$沿$BC$方向平移$a cm$得到$\triangle DEF$，所以$AD = BE = a cm$，$AB = DE = 4 cm$，$AC = DF = 2 cm$。
- **步骤二：计算阴影部分的周长**
阴影部分的周长$C = AD + AB + DF+(BC - BE)+(EC)$。
将$AD = BE = a cm$，$AB = DE = 4 cm$，$AC = DF = 2 cm$代入上式可得：
$C=a + 4 + 2+(5 - a)+(EC - EC)$（因为$EC$在式子中一加一减可抵消）
$=a + 4 + 2 + 5 - a$
$=(a - a)+(4 + 2 + 5)$
$=0 + 11$
$= 11(cm)$
$11$
- **步骤一：根据平移性质得到相关线段的关系**
根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等 ，对应点所连接的线段平行且相等。
已知$\triangle ABC$沿$BC$方向平移$a cm$得到$\triangle DEF$，所以$AD = BE = a cm$，$AB = DE = 4 cm$，$AC = DF = 2 cm$。
- **步骤二：计算阴影部分的周长**
阴影部分的周长$C = AD + AB + DF+(BC - BE)+(EC)$。
将$AD = BE = a cm$，$AB = DE = 4 cm$，$AC = DF = 2 cm$代入上式可得：
$C=a + 4 + 2+(5 - a)+(EC - EC)$（因为$EC$在式子中一加一减可抵消）
$=a + 4 + 2 + 5 - a$
$=(a - a)+(4 + 2 + 5)$
$=0 + 11$
$= 11(cm)$
$11$
1. 如图,在$4× 4$的方格中,有$4$个小方格被涂黑成“L形”.
(1)在图$1中再涂黑4$格,使新涂黑的图形与原来的“L形”关于对称中心点$O$成中心对称.
(2)在图$2和图3中再分别涂黑4$格,使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形(两个图各画一种).
(1)在图$1中再涂黑4$格,使新涂黑的图形与原来的“L形”关于对称中心点$O$成中心对称.
(2)在图$2和图3中再分别涂黑4$格,使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形(两个图各画一种).
答案：
**（1）根据中心对称的性质**：
- 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转$180^{\circ}$，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
- 对于方格中的“$L$形”，先确定原“$L$形”每个涂黑小方格关于对称中心点$O$的对称点。例如，原“$L$形”左上角方格关于$O$的对称点，通过数方格的行列距离，$O$点为中心，找到其对称位置，依次对原“$L$形”的$4$个方格找对称点并涂黑。
- **（2）根据轴对称图形和中心对称图形的性质**：
- 轴对称图形是沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕着一个点旋转$180^{\circ}$后能与原图重合的图形。
- 对于图$2$和图$3$，可以先考虑一些常见的既是轴对称又是中心对称的图形结构。比如，先构建一个关于某条水平或垂直直线对称的图形框架，同时保证绕某点（如方格中心）旋转$180^{\circ}$后重合。可以从原“$L$形”出发，尝试在对称位置涂黑方格，不断调整，使整体满足两种对称性质。
- （1）根据中心对称性质找到对称点涂黑（具体图形根据上述方法绘制）。
- （2）根据轴对称和中心对称性质，在图$2$和图$3$中画出满足条件的图形（答案不唯一，只要符合两种对称性质即可）。
（由于无法直接绘制图形，以上为解题思路和方法，学生可根据此思路在方格中完成图形绘制）
- 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转$180^{\circ}$，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
- 对于方格中的“$L$形”，先确定原“$L$形”每个涂黑小方格关于对称中心点$O$的对称点。例如，原“$L$形”左上角方格关于$O$的对称点，通过数方格的行列距离，$O$点为中心，找到其对称位置，依次对原“$L$形”的$4$个方格找对称点并涂黑。
- **（2）根据轴对称图形和中心对称图形的性质**：
- 轴对称图形是沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕着一个点旋转$180^{\circ}$后能与原图重合的图形。
- 对于图$2$和图$3$，可以先考虑一些常见的既是轴对称又是中心对称的图形结构。比如，先构建一个关于某条水平或垂直直线对称的图形框架，同时保证绕某点（如方格中心）旋转$180^{\circ}$后重合。可以从原“$L$形”出发，尝试在对称位置涂黑方格，不断调整，使整体满足两种对称性质。
- （1）根据中心对称性质找到对称点涂黑（具体图形根据上述方法绘制）。
- （2）根据轴对称和中心对称性质，在图$2$和图$3$中画出满足条件的图形（答案不唯一，只要符合两种对称性质即可）。
（由于无法直接绘制图形，以上为解题思路和方法，学生可根据此思路在方格中完成图形绘制）
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