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5. 甲、乙两位同学在解方程组 $ \begin{cases}ax + 3y = 9,\\bx - 4y = 4\end{cases} $ 时,甲把字母 $ a $ 看错了得到方程组的解为 $ \begin{cases}x = 4,\\y = 1,\end{cases} $ 乙把字母 $ b $ 看错了得到方程组的解为 $ \begin{cases}x = 3,\\y = 2,\end{cases} $ 则 $ a + b = $______.
答案：
因为甲把字母$a$看错了，但是$b$是正确的，所以将$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$代入$bx - 4y = 4$中，可得：
$4b-4\times1 = 4$，
$4b-4 = 4$，
$4b=4 + 4$，
$4b = 8$，
解得$b = 2$。
又因为乙把字母$b$看错了，但是$a$是正确的，所以将$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$代入$ax + 3y = 9$中，可得：
$3a+3\times2 = 9$，
$3a+6 = 9$，
$3a=9 - 6$，
$3a = 3$，
解得$a = 1$。
则$a + b=1 + 2=3$。
$3$
$4b-4\times1 = 4$，
$4b-4 = 4$，
$4b=4 + 4$，
$4b = 8$，
解得$b = 2$。
又因为乙把字母$b$看错了，但是$a$是正确的，所以将$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$代入$ax + 3y = 9$中，可得：
$3a+3\times2 = 9$，
$3a+6 = 9$，
$3a=9 - 6$，
$3a = 3$，
解得$a = 1$。
则$a + b=1 + 2=3$。
$3$
1. 如图,$ AD,AF $ 分别为 $ \triangle ABC $ 的中线、高,点 $ E $ 为 $ AD $ 的中点.
(1)若 $ \angle ABD = 40^{\circ},\angle BAD = 35^{\circ} $,求 $ \angle DAF $ 的度数.
(2)若 $ \triangle BDE $ 的面积为 15,$ BD = 5 $,求 $ AF $ 的长.
(1)若 $ \angle ABD = 40^{\circ},\angle BAD = 35^{\circ} $,求 $ \angle DAF $ 的度数.
(2)若 $ \triangle BDE $ 的面积为 15,$ BD = 5 $,求 $ AF $ 的长.
答案：
$(1)$求$\angle DAF$的度数
**步骤一：求$\angle ADB$的度数**
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle ABD = 40^{\circ}$，$\angle BAD = 35^{\circ}$，则$\angle ADB=180^{\circ}-\angle ABD - \angle BAD$。
即$\angle ADB = 180^{\circ}-40^{\circ}-35^{\circ}=105^{\circ}$。
- **步骤二：求$\angle ADF$的度数**
因为$\angle ADB$与$\angle ADF$互为邻补角，所以$\angle ADF = 180^{\circ}-\angle ADB$。
将$\angle ADB = 105^{\circ}$代入可得$\angle ADF = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$。
- **步骤三：求$\angle DAF$的度数**
因为$AF$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle DAF=180^{\circ}-\angle AFD-\angle ADF$。
将$\angle AFD = 90^{\circ}$，$\angle ADF = 75^{\circ}$代入可得$\angle DAF = 180^{\circ}-90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$。
$(2)$求$AF$的长
- **步骤一：根据中线性质求$\triangle ABD$的面积**
因为点$E$为$AD$的中点，所以$BE$是$\triangle ABD$的中线。
根据中线性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得$S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle BDE}$。
已知$S_{\triangle BDE}=15$，则$S_{\triangle ABD}=2\times15 = 30$。
- **步骤二：根据中线性质求$BC$的长度**
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = DC$，已知$BD = 5$，则$BC = 2BD=10$。
- **步骤三：求$AF$的长**
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），对于$\triangle ABD$，$BD$为底，$AF$为高，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times BD\times AF$。
已知$S_{\triangle ABD}=30$，$BD = 5$，代入可得$30=\frac{1}{2}\times5\times AF$。
解方程$30=\frac{5}{2}AF$，得$AF = 12$。
$(1)$$\angle DAF$的度数为$15^{\circ}$。
$(2)$$AF$的长为$12$。
**步骤一：求$\angle ADB$的度数**
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle ABD = 40^{\circ}$，$\angle BAD = 35^{\circ}$，则$\angle ADB=180^{\circ}-\angle ABD - \angle BAD$。
即$\angle ADB = 180^{\circ}-40^{\circ}-35^{\circ}=105^{\circ}$。
- **步骤二：求$\angle ADF$的度数**
因为$\angle ADB$与$\angle ADF$互为邻补角，所以$\angle ADF = 180^{\circ}-\angle ADB$。
将$\angle ADB = 105^{\circ}$代入可得$\angle ADF = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$。
- **步骤三：求$\angle DAF$的度数**
因为$AF$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle DAF=180^{\circ}-\angle AFD-\angle ADF$。
将$\angle AFD = 90^{\circ}$，$\angle ADF = 75^{\circ}$代入可得$\angle DAF = 180^{\circ}-90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$。
$(2)$求$AF$的长
- **步骤一：根据中线性质求$\triangle ABD$的面积**
因为点$E$为$AD$的中点，所以$BE$是$\triangle ABD$的中线。
根据中线性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得$S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle BDE}$。
已知$S_{\triangle BDE}=15$，则$S_{\triangle ABD}=2\times15 = 30$。
- **步骤二：根据中线性质求$BC$的长度**
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = DC$，已知$BD = 5$，则$BC = 2BD=10$。
- **步骤三：求$AF$的长**
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），对于$\triangle ABD$，$BD$为底，$AF$为高，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times BD\times AF$。
已知$S_{\triangle ABD}=30$，$BD = 5$，代入可得$30=\frac{1}{2}\times5\times AF$。
解方程$30=\frac{5}{2}AF$，得$AF = 12$。
$(1)$$\angle DAF$的度数为$15^{\circ}$。
$(2)$$AF$的长为$12$。
2. 为响应阳光体育运动的号召,学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球. 按标价若购买 2 个篮球和 3 个足球需 600 元,若购买 3 个篮球和 1 个足球需 550 元.
(1)求篮球、足球每个分别是多少元.
(2)由于购买数量较多,商店决定给予一定的优惠,篮球每个优惠 $ 20\% $,足球每个优惠 $ 10\% $. 若学校决定买两种球共 40 个,在购买资金不超过 4500 元时,则购买篮球至多是多少个？
(1)求篮球、足球每个分别是多少元.
(2)由于购买数量较多,商店决定给予一定的优惠,篮球每个优惠 $ 20\% $,足球每个优惠 $ 10\% $. 若学校决定买两种球共 40 个,在购买资金不超过 4500 元时,则购买篮球至多是多少个？
答案：
$(1)$求篮球、足球每个的价格
设篮球每个$x$元，足球每个$y$元。
根据“购买$2$个篮球和$3$个足球需$600$元”，可列方程$2x + 3y = 600$；
根据“购买$3$个篮球和$1$个足球需$550$元”，可列方程$3x + y = 550$。
将$3x + y = 550$变形为$y = 550 - 3x$，代入$2x + 3y = 600$中，得到：
$2x + 3(550 - 3x) = 600$
$2x + 1650 - 9x = 600$
$2x - 9x = 600 - 1650$
$-7x = -1050$
$x = 150$
把$x = 150$代入$y = 550 - 3x$，得$y = 550 - 3×150 = 550 - 450 = 100$。
$(2)$求购买篮球的最多数量
设购买篮球$m$个，则购买足球$(40 - m)$个。
篮球每个优惠$20\%$，则优惠后篮球单价为$150×(1 - 20\%) = 150×0.8 = 120$元；
足球每个优惠$10\%$，则优惠后足球单价为$100×(1 - 10\%) = 100×0.9 = 90$元。
根据购买资金不超过$4500$元，可列不等式：
$120m + 90(40 - m) \leq 4500$
$120m + 3600 - 90m \leq 4500$
$120m - 90m \leq 4500 - 3600$
$30m \leq 900$
$m \leq 30$
$(1)$篮球每个$150$元，足球每个$100$元。
$(2)$购买篮球至多是$30$个。
设篮球每个$x$元，足球每个$y$元。
根据“购买$2$个篮球和$3$个足球需$600$元”，可列方程$2x + 3y = 600$；
根据“购买$3$个篮球和$1$个足球需$550$元”，可列方程$3x + y = 550$。
将$3x + y = 550$变形为$y = 550 - 3x$，代入$2x + 3y = 600$中，得到：
$2x + 3(550 - 3x) = 600$
$2x + 1650 - 9x = 600$
$2x - 9x = 600 - 1650$
$-7x = -1050$
$x = 150$
把$x = 150$代入$y = 550 - 3x$，得$y = 550 - 3×150 = 550 - 450 = 100$。
$(2)$求购买篮球的最多数量
设购买篮球$m$个，则购买足球$(40 - m)$个。
篮球每个优惠$20\%$，则优惠后篮球单价为$150×(1 - 20\%) = 150×0.8 = 120$元；
足球每个优惠$10\%$，则优惠后足球单价为$100×(1 - 10\%) = 100×0.9 = 90$元。
根据购买资金不超过$4500$元，可列不等式：
$120m + 90(40 - m) \leq 4500$
$120m + 3600 - 90m \leq 4500$
$120m - 90m \leq 4500 - 3600$
$30m \leq 900$
$m \leq 30$
$(1)$篮球每个$150$元，足球每个$100$元。
$(2)$购买篮球至多是$30$个。
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