《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

例1 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE = CF.
　　　　　　　　
(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出.
(2)选择一对全等的三角形并进行证明.

答案： 例1解：
(1)3对；△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD.
(2)答案不唯一，示例：选择△BDE≌△CDF.
证明：
∵点D是BC边的中点，
∴BD=CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
又
∵BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).

1. 如图，BF = CE，AE⊥BC，DF⊥BC，若要用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需补充条件 ( )
　　　　
A. ∠A = ∠D B. AB = DC
C. ∠B = ∠C D. AE = DF

答案： 1. B

2. 如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE = DF，AB = DC，连接AC，BD，则Rt△____≌Rt△____(HL).
　　　

答案： 2. ABE；DCF

例2 如图，AB = AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为 ( )
　
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： 例2D

3. 如图，∠C = ∠D = 90°，BC与AD交于点E，AC = BD.求证：∠CAD = ∠DBC.
　　　　　　

答案： 3. 证明：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∵AB=BA，AC=BD，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
∴∠ABC=∠BAD，∠BAC=∠ABD.
∴∠BAC - ∠BAD=∠ABD - ∠ABC，
即∠CAD=∠DBC.