《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

例1计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}-\frac{1}{3a}$的结果是__________

答案： $\frac{7}{6a}$

例2计算$\frac{3x}{x - 4y}+\frac{x + y}{4y - x}-\frac{7y}{x - 4y}$的结果是（ ）
A. $-\frac{2x + 6y}{x - 4y}$
B. $\frac{2x + 6y}{x - 4y}$
C. -2
D. 2

答案： D

例3下面是小王同学进行代数式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
$\frac{m^{2}-4m + 4}{m - 1}\div(\frac{3}{m - 1}-m - 1)$
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\div[\frac{3}{m - 1}-(m - 1)]$     第一步
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\div[\frac{3}{m - 1}-\frac{(m - 1)^{2}}{m - 1}]$      第二步
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\div\frac{-m^{2}+2m + 2}{m - 1}$             第三步
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\cdot\frac{m - 1}{-m^{2}+2m + 2}$               第四步
$=\frac{(m - 2)^{2}}{-m^{2}+2m + 2}$                             第五步
　任务一：从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________________
　任务二：请写出正确的化简过程.

答案： 任务一：加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号.
任务二：$\frac{m^{2}-4m + 4}{m - 1}\div(\frac{3}{m - 1}-m - 1)$
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\div[\frac{3}{m - 1}-(m + 1)]$
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\div[\frac{3}{m - 1}-\frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}]$
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\div\frac{4 - m^{2}}{m - 1}$
$=\frac{(m - 2)^{2}}{m - 1}\cdot\frac{m - 1}{(2 - m)(2 + m)}$
$=-\frac{m - 2}{m + 2}$.

1. 计算：$\frac{x}{x + y}-\frac{2xy}{y^{2}-x^{2}}+\frac{y}{x - y}$

答案： 解: 原式$=\frac{x}{x + y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}+\frac{y}{x - y}$
$=\frac{x(x - y)+2xy + y(x + y)}{x^{2}-y^{2}}$
$=\frac{x^{2}+2xy + y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$
$=\frac{(x + y)^{2}}{(x + y)(x - y)}$
$=\frac{x + y}{x - y}$.

2. 化简$(1+\frac{1}{a})\div\frac{a^{2}-1}{a}$的结果正确的是（ ）
A. $a - 1$
B. $\frac{1}{a - 1}$
C. $\frac{1}{a + 1}$
D. $\frac{1}{a}$

答案： B

3. 计算：
　(1) $8x^{2}y^{4}\cdot(-\frac{3x}{4y^{3}})\div(-\frac{x^{2}y}{2})$；
　(2) $\frac{1}{x - 1}\div\frac{x + 2}{x^{2}-2x + 1}-\frac{x}{x + 2}$

答案： 解:
(1) 原式$=8x^{2}y^{4}\cdot(-\frac{3x}{4y^{3}})\cdot(-\frac{2}{x^{2}y}) = 12x$.
(2) 原式$=\frac{1}{x - 1}\cdot\frac{(x - 1)^{2}}{x + 2}-\frac{x}{x + 2}$
$=\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{x}{x + 2}$
$=-\frac{1}{x + 2}$.

4. 先化简，再求值：$(\frac{1}{m + 2}+\frac{1}{m - 2})\div\frac{2m}{m^{2}-4m + 4}$，其中$m = 4$

答案： 解: 原式$=\frac{(m - 2)+(m + 2)}{(m + 2)(m - 2)}\div\frac{2m}{(m - 2)^{2}}$
$=\frac{2m}{(m + 2)(m - 2)}\cdot\frac{(m - 2)^{2}}{2m}$
$=\frac{m - 2}{m + 2}$,
当$m = 4$时，原式$=\frac{4 - 2}{4 + 2}=\frac{1}{3}$.