《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

例1 下列多项式中，含有公因式(y + 1)的多项式是(　　)
A. y² - 2xy - 3x²
B. (y + 1)² - (y - 1)²
C. (y + 1)² - (y + 1)
D. (y + 1)² + 2(y + 1) + 1

答案： C

例2 若(x + y)³ - xy(x + y) = (x + y)·A，则A为　　(　　)
A. x² + y²
B. x² - xy + y²
C. x² - 3xy + y²
D. x² + xy + y²

答案： D

例3 将多项式1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)²进行因式分解的过程如下:
1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)²
= (1 + x)[1 + x + x(1 + x)]
= (1 + x)²(1 + x)
= (1 + x)³.
(1)上述因式分解的方法是______________，共应用了______次;
(2)若分解1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)² +... + x(1 + x)²⁰²⁵，则需要应用上述方法______次，结果是__________.

答案：
(1)提公因式法；2
(2)2025；$(1 + x)^{2026}$

例4 将下列式子进行因式分解.
(1)6p(p + q) - 4q(q + p);
(2)(x - y) + 2x(y - x);
(3)(x + y)(x - y) - (x + y)².

答案： 解：
(1)原式$=2(p + q)(3p - 2q)$。
(2)原式$=(x - y)-2x(x - y)=(x - y)(1 - 2x)$。
(3)原式$=(x + y)[(x - y)-(x + y)]$
$=(x + y)(x - y - x - y)$
$=-2y(x + y)$。

1. 多项式2a(x + y)³ - 6a²(x + y)的公因式是　　　　　　　　(　　)
A. 2a²(x + y)²
B. 6a(x + y)
C. 2a(x + y)
D. -2a

答案： C

2. 把多项式p²(a - 1) + p(1 - a)因式分解的结果是　　　　　　(　　)
A. (a - 1)(p² + p)
B. (a - 1)(p² + p)
C. p(a - 1)(p - 1)
D. p(a - 1)(p + 1)

答案： C

3. 已知多项式(2x - 21)(3x - 7) - (3x - 7)(x - 13)可因式分解为(3x + a)(x + b)，其中a，b均为整数，则a + 3b的值是__________.

答案： -31

4. 先因式分解，再计算求值.
5x(m - 2) - 4x(m - 2)，其中x = $\frac{2}{5}$，m = $\frac{11}{2}$.

答案： 解：原式$=x(m - 2)$。
当$x = \frac{2}{5}$，$m = \frac{11}{2}$时，原式$=\frac{7}{5}$。

5. 小明说(a - 2b)³ + 2b(2b - a)²的结果与b的值无关，判断他的说法是否正确并说明理由.

答案： 解：小明的说法不正确，理由如下：
原式$=(a - 2b)^{3}+2b(a - 2b)^{2}$
$=(a - 2b)^{2}[a - 2b + 2b]$
$=a(a - 2b)^{2}$。
∵变形后的式子中含有b，
∴小明的说法不正确。