《2025年寒假零距离七年级数学北师大版》

16. 计算如图所示的阴影部分的面积.
　　　　　　　　　

答案： 解：$S_{阴影}=2ab(2ab + 3ab+3ab)+2ab\cdot3ab+3ab\cdot3ab=31a^{2}b^{2}$. (解法不唯一，正确即可)

17. 一块长方形的铁皮，长为$(5a^{2}+4b^{2})\text{m}$，宽为$6a^{4}\text{m}$，在它的四个角上都剪去一个边长为$\frac{3}{2}a^{3}\text{m}$的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，问这个盒子的表面积是多少?

答案： 解：$S=(5a^{2}+4b^{2})\cdot6a^{4}-4\cdot(\frac{3}{2}a^{3})^{2}=30a^{6}+24a^{4}b^{2}-4\times\frac{9}{4}a^{6}=30a^{6}+24a^{4}b^{2}-9a^{6}=21a^{6}+24a^{4}b^{2}(m^{2})$.

18. 雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行. 假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，整个过程共用了$5.24\times10^{-5}$秒. 已知电磁波的传播速度为$3.0\times10^{8}$米/秒，求该时刻飞机与雷达的距离.（结果用科学记数法表示，飞机行驶的路程忽略不计）

答案： 解：$5.24\times10^{-5}\times3.0\times10^{8}\div2=7.86\times10^{3}$(米). 答：该时刻飞机与雷达的距离为$7.86\times10^{3}$米.

19. 试说明：式子$(2x + 3)(6x + 2)-6x(2x + 13)+8(7x + 2)$的值与$x$的取值无关.

答案： 解：原式$=12x^{2}+22x + 6-12x^{2}-78x+56x + 16=22$，故式子$(2x + 3)(6x + 2)-6x(2x + 13)+8(7x + 2)$的值与$x$的取值无关.

20. 探究题.
(1)计算下列各题：
①$(x - 1)(x + 1)=$_______；
②$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=$_______；
③$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=$_______；
④$(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=$_______；
(2)猜想：$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1)$的结果是什么?
(3)证明当$n = 7$时你的猜想是否正确.

答案： 解：
(1)$x^{2}-1$ $x^{3}-1$ $x^{4}-1$ $x^{5}-1$
(2)$x^{n + 1}-1$
(3)当$n = 7$时，$(x - 1)(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x - 1=x^{8}-1$. 所以当$n = 7$时猜想正确.