《2025年寒假零距离七年级数学北师大版》

16. 利用等式的性质解方程，并检验.
（1）$4x - 6 = -10$； （2）$10x = 5x - 3$.

答案： 解：
(1)方程两边同时加上 6，得 $4x - 6 + 6 = -10 + 6$，即 $4x=-4$。方程两边同时除以 4，得 $x = -1$。检验：把 $x = -1$ 代入方程，左边 $=4\times(-1)-6=-10$，右边 $= -10$，左边 = 右边，所以 $x = -1$ 是方程的解。
(2)方程的两边同时减去 $5x$，得 $5x = -3$。方程的两边同时除以 5，得 $x = -\frac{3}{5}$。检验：把 $x = -\frac{3}{5}$ 代入方程，左边 $=10\times(-\frac{3}{5})=-6$，右边 $=5\times(-\frac{3}{5})-3=-6$，左边 = 右边，所以 $x = -\frac{3}{5}$ 是方程的解。

17. 解下列方程：
（1）$2(x - 3) - 3(x - 5) = 7(x - 1)$；
（2）$\frac{x - 3}{2} - \frac{4x + 1}{5} = 1$.

答案： 解：
(1)去括号，得 $2x - 6 - 3x + 15 = 7x - 7$。移项，得 $2x - 3x - 7x = -7 + 6 - 15$。合并同类项，得 $-8x = -16$。系数化为 1，得 $x = 2$。
(2)去分母，得 $5(x - 3)-2(4x + 1)=10$。去括号，得 $5x - 15 - 8x - 2 = 10$。移项，得 $5x - 8x = 10 + 15 + 2$。合并同类项，得 $-3x = 27$。系数化为 1，得 $x = -9$。

18. 解方程：$3x - 3 = 2x - 3$，王涛同学是这样做的：
根据等式的性质1，方程两边都加3，得$3x - 3 + 3 = 2x - 3 + 3$，①
化简，得$3x = 2x$，②
根据等式性质2，方程两边都除以$x$，得$3 = 2$，③所以此方程无解. ④
王涛同学的解题过程是否正确？如果不正确，指出是从第几步开始出错的及错误的原因，并加以改正.

答案： 解：王涛同学解题不正确，是从第③步开始出错的，因为此时不能确定 $x$ 的值是否为 0。当 $x = 0$ 时，方程两边都除以 $x$，不符合等式的性质 2。改正：①②步同题，得 $3x = 2x$，方程的两边都减去 $2x$，得 $3x - 2x = 2x - 2x$，即 $x = 0$。

19. 若$a$，$b$为定值，关于$x$的一元一次方程$\frac{2ka + x}{3} - \frac{x - bx}{6} = 2$，无论$k$为何值，它的解总是$x = 1$，求$a$，$b$的值.

答案： 解：因为方程的解总是 $x = 1$，所以将 $x = 1$ 代入，可得 $\frac{2ka + 1}{3}-\frac{1 - b}{6}=2$。去分母，得 $2(2ka + 1)-(1 - b)=12$。去括号，并整理得 $4ka + b = 11$。因为对于 $k$ 的任何值上式都成立且 $a$，$b$ 为定值，所以 $4ka$ 只能为 0，即 $a = 0$，所以 $b = 11$。

20. 团体购买公园门票，票价如下：

今有甲、乙两个旅游团，共112人. 若分别购票，两团总计应付门票费6570元. 若合在一起作为一个团体购票，总计只须付5040元. 问这两个旅游团各有多少人？

答案： 解：设一个团有 $x$ 人 ($x＜50$)，则另一个团有 $(112 - x)$ 人，由题意得 $65x + 55\cdot(112 - x)=6570$，解得 $x = 41$，所以 $112 - x = 71$（人），因此，两个旅游团分别有 41 人和 71 人。

21. 食品安全是关乎民生的问题. 在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输. 某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

答案： 解：设 A 饮料生产了 $x$ 瓶，则 B 饮料生产了 $(100 - x)$ 瓶。依题意，得 $2x + 3(100 - x)=270$。解得 $x = 30$，$100 - x = 70$。答：A 饮料生产了 30 瓶，B 饮料生产了 70 瓶。