《2025年寒假零距离七年级数学北师大版》

20. “中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现现代人追梦的风采，我市某中学七年级$A$班有50人，分为四组进行演讲比赛，第一组有$(3a + 4b + 2)$人，第二组比第一组的一半多6人，第三组比前两组的和的$\frac{1}{3}$多3人.
（1）求第四组的人数（用含$a$，$b$的整式表示）；
（2）试判断当$a = 1,b = 2$时是否满足题意.

答案： 解：
(1)第二组的人数为$\frac{1}{2}(3a + 4b + 2)+6=\frac{3}{2}a + 2b + 7$，第三组的人数为$\frac{1}{3}(3a + 4b + 2+\frac{3}{2}a + 2b + 7)+3=\frac{3}{2}a + 2b + 6$，第四组的人数为$50-(3a + 4b + 2)-(\frac{3}{2}a + 2b + 7)-(\frac{3}{2}a + 2b + 6)=35 - 6a - 8b$；
(2)当$a = 1$，$b = 2$时，第二、三组的人数均为小数，所以$a = 1$，$b = 2$是不满足题意的。

21. 1路公交车上原有$(3m - n)$人，中途有一半人下车，又上车若干人，使车上共有乘客$(8m - 5n)$人. 问：上车乘客是多少人？当$m = 10,n = 8$时，上车乘客是多少人？

答案： 解：由题意，得$(8m - 5n)-(3m - n)+\frac{1}{2}(3m - n)=8m - 5n - 3m + n+\frac{3}{2}m-\frac{1}{2}n=\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n$。当$m = 10$，$n = 8$时，原式$=\frac{13}{2}×10-\frac{9}{2}×8 = 65 - 36 = 29$。答：上车乘客是$(\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n)$人；当$m = 10$，$n = 8$时，上车乘客是 29 人。

22. 某市水费调整收费标准后按如下方式计费：每月不超过10吨按2.5元/吨收费，超过10吨的部分按3元/吨收费. 若小红家这个月用水$a$吨，则应缴水费多少元？

答案： 解：当$a\leq10$时，应缴费$2.5a$元；当$a＞10$时，应缴费：$2.5×10+(a - 10)×3=(3a - 5)$元。

23. 将连续奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形状，并用十字框框出5个数. 请你回答:
　　　
（1）十字框框出的5个数的和与框中间的数17有什么关系？
（2）若将十字框上、下、左、右平移，可以框出另外5个数，这5个数还存在这种规律吗？
（3）如果设中间的数为$a$，用代数式表示框出的5个数的和.

答案： 解：
(1)框出的 5 个数的和等于 17 的 5 倍；
(2)若将十字框平移时，因为框出的数的变化规律相同，所以 5 个数还存在这种规律。
(3)$5a$。