《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

1.(2024·珠海一模)根据以下素材，探索完成任务.
| |如何设计奖品购买及兑换方案|
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|素材1|某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件.|
|素材2|某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件.|
|素材3|学校花费400元后，文具店赠送m张(1＜m＜10)兑换券用于商品兑换. 兑换后，笔记本与钢笔数量相同.|
|问题解决| |
|任务1|探求商品单价|请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价；|
|任务2|求奖品的购买方案|请写出购买钢笔和笔记本数量的方案；|
|任务3|确定兑换方式|运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式.|

答案： 解：任务1：设笔记本的单价为$x$元，则钢笔的单价为$2x$元，
根据题意，得$\frac{120}{x}=\frac{160}{2x}+8$，
解得$x = 5$，
经检验，$x = 5$是所列方程的解，且符合题意，
此时$2x = 10$(元)，
答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元.
任务2：设购买钢笔的数量为$a$枝，笔记本的数量为$b$本，根据$a+b=50$，
根据题意，得$\begin{cases}a + b = 50\\10a + 5b = 400\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 30\\b = 20\end{cases}$，
答：购买钢笔的数量为30枝，笔记本的数量为20本.
任务3：当购买钢笔的数量为30枝，笔记本的数量为20本时，设有$a$张兑换券兑换钢笔，则有$(m - a)$张兑换券兑换笔记本，
根据题意，得$30 + 10a = 20+20\times(m - a)$，
整理，得$m=\frac{3a + 1}{2}$.
$\because1\lt m\lt10$，$\therefore1\lt\frac{3a + 1}{2}\lt10$，$\therefore\frac{1}{3}\lt a\lt\frac{19}{3}$.
$\because m$，$a$均为正整数，且$3a + 1$为偶数(2的倍数)，
$\therefore a$的值可取1，3，5，
当$a = 1$时，$m = 2$；
当$a = 3$时，$m = 5$；
当$a = 5$时，$m = 8$.
根据题意可知，当$a = 3$或$a = 5$时，赠送商品的总价为500元或800元，不合理，故舍去.
$\therefore$文具店赠送2张兑换券，其中有1张兑换券兑换钢笔，另1张兑换券兑换笔记本.
答：文具店赠送2张兑换券，其中有1张兑换券兑换钢笔，另1张兑换券兑换笔记本.