《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

1. 在$\square ABCD$中，$AD = 2AB$，$\angle B = 60^{\circ}$，$E$，$F$分别为边$AD$，$BC$的中点. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图①中画一个以点$A$，$C$为顶点的菱形；
(2)在图②中画一个以点$B$，$C$为顶点的矩形.

答案：
解：
(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示.

2. 如图，在菱形$ABCD$中，$\angle B = 60^{\circ}$，延长$BC$至点$E$，使$CE=\frac{1}{2}BC$. 取$CD$的中点$F$，连接$EF$，请利用无刻度的直尺按下列要求作图(保留画图痕迹).
(1)在图①中作出$\triangle CEF$中$CF$边上的中线；
(2)在图②中作出$BC$的中点.

答案：
解：
(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示.

3. 如图，在菱形$ABCD$中，$\angle BAD = 60^{\circ}$，在$\angle ABC$内作射线$BM$，作点$C$关于$BM$的对称点$E$，连接$AE$并延长交$BM$于点$F$，连接$CF$，$CE$，$BE$.
(1)求证：$\triangle CEF$是等边三角形；
(2)若$\angle BAF = 45^{\circ}$，$AE = 5$，求$BF$的长.

答案：

(1)证明：如答图，作BG⊥AE于点G.设CE交BM于点N.

∵点E，C关于BM对称，
∴BC=BE，FE=FC，
∴BM垂直平分CE，
∴∠BNE=90°，∠3=∠4.
∵在菱形ABCD中，AB=BC，∠BAD=60°，
∴AB=BE，∠ABC=120°.
又
∵BG⊥AE，
∴∠1=∠2，∠BGE=90°，
∴∠2+∠3=1/2∠ABC=60°，
∴在四边形BNEG中，∠NEG=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠CEF=60°.
又
∵FE=FC，
∴△CEF是等边三角形.
(2)解：由
(1)知AB=BE，
∴当∠BAF=45°时，∠AEB=45°，∠ABE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形.
又
∵BG⊥AE，
∴AG=EG=BG=1/2AE=5/2.
由
(1)可得，∠BFG=30°，
∴在Rt△BFG中，BF=2BG=5.