《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

1. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF = DC；
(2)若AB = AC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由.
　　　

答案：
(1)证明：
∵E是AD的中点，
∴AE=DE.
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE.
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle AFE=\angle DBE,\\ \angle FEA=\angle BED,\\ AE=DE,\end{array}\right. $
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线，
∴DC=DB，
∴AF=DC.
(2)解：四边形ADCF是矩形.
理由：连接DF，
由
(1)得AF=DB，AF//DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AB=DF.
∵AB=AC，
∴AC=DF.
由
(1)得AF=DC，AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形.

2. (2023·兴化月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D.
(1)求证：CE = DE；
(2)若点F为BC的中点，求EF的长.
　　　　　

答案：
(1)证明：
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE.
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=∠AED=90°，
在△AEC和△AED中，$\left\{\begin{array}{l} \angle CAE=\angle DAE,\\ AE=AE,\\ \angle AEC=\angle AED,\end{array}\right. $
∴△AEC≌△AED(ASA)，
∴CE=DE.
(2)解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt {6^{2}+8^{2}}=10$.
∵△AEC≌△AED，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB - AD=4，
∵E为CD的中点，F为BC的中点，
∴EF=$\frac {1}{2}$BD=2.

3. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF = EG. 求证：BD = AC.
　　　　　

答案：
证明：取DC的中点H，连接MH，NH，如答图.
∵M，H分别是AD，DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH//AC且MH=$\frac {1}{2}$AC，
同理可得NH//BD且NH=$\frac {1}{2}$BD.
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF.
∵MH//AC，NH//BD，
∴∠EFG=∠HMN，∠EGF=∠HNM，
∴∠HMN=∠HNM，
∴MH=NH，
∴AC=BD.