《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

7. 若分式$\frac{x^{2}+1}{x - 1}\square\frac{2x}{x - 1}$运算结果为$x - 1$，则在“$\square$”中添加的运算符号为 （ ）
A. +
B. -
C. ×
D. ÷

答案： 7.B

8. 如果$m + n = 1$，那么代数式$(\frac{2m + n}{m^{2}-mn}+\frac{1}{m})\cdot(m^{2}-n^{2})$的值为 （ ）
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3

答案： 8.D

9. (2023·成都)若$3ab - 3b^{2}-2 = 0$，则代数式$(1-\frac{2ab - b^{2}}{a^{2}})\div\frac{a - b}{a^{2}b}$的值为______.

答案： 9. $\frac{2}{3}$

10. (2024·眉山)已知$a_{1}=x + 1(x\neq0且x\neq - 1)$，$a_{2}=\frac{1}{1 - a_{1}}$，$a_{3}=\frac{1}{1 - a_{2}}$，$\cdots$，$a_{n}=\frac{1}{1 - a_{n - 1}}$，则$a_{2024}$的值为______.

答案： 10. $-\frac{1}{x}$

11. 已知$x^{2}+y^{2}=3$，$xy=\frac{1}{2}$，则$(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})\div\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}$的值为______.

答案： 11. $\pm\frac{1}{2}$

12. (2023·菏泽)先化简，再求值：$(\frac{3x}{x - y}+\frac{x}{x + y})\div\frac{x}{x^{2}-y^{2}}$，其中$x$，$y$满足$2x + y - 3 = 0$.

答案： 12.解:原式$=\frac{3x^{2}+3xy + x^{2}-xy}{(x - y)(x + y)}\cdot\frac{(x - y)(x + y)}{x}=\frac{2x(2x + y)}{(x - y)(x + y)}\cdot\frac{(x - y)(x + y)}{x}=2(2x + y)$，
　　$\because2x + y - 3 = 0$，$\therefore2x + y = 3$，
　　$\therefore$原式$=2\times3 = 6$。

13. 先化简：$(\frac{a + 1}{a - 2}-1)\div\frac{a^{2}-2a}{a^{2}-4a + 4}$，然后从$0$，$2$，$2025$中选择一个合适的数代入求值.

答案： 13.解:原式$=(\frac{a + 1}{a - 2}-\frac{a - 2}{a - 2})\div\frac{a(a - 2)}{(a - 2)^{2}}=\frac{a + 1-(a - 2)}{a - 2}\cdot\frac{(a - 2)^{2}}{a(a - 2)}=\frac{a + 1 - a + 2}{a - 2}\cdot\frac{(a - 2)^{2}}{a(a - 2)}=\frac{3}{a - 2}\cdot\frac{(a - 2)^{2}}{a(a - 2)}=\frac{3}{a}$，
　当$a = 0$，$a = 2$时，原式没有意义，
　$\therefore$当$a = 2025$时，原式$=\frac{3}{2025}=\frac{1}{675}$。

14. 如图，小宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象.
$a,b$表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式$\frac{b}{a}$，$\frac{a}{b}$，如果$a$，$b$这两个正数的和等于它们的积，即$a + b = ab$，那么这两个分式的和比这两个正数的积小2，即$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$比$ab$小2.

(1)任写两组符合条件$a + b = ab$的正数$a$，$b$的值；
(2)选(1)中两组$a$，$b$值中的一组值，验证小宝的结论：$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$比$ab$小2；
(3)在一般情形下，验证小宝的结论.

答案： 14.解:
(1)由$a + b = ab$，得到$a = b(a - 1)$，即$b=\frac{a}{a - 1}$，
　当$a = 2$时，$b = 2$；当$a = 3$时，$b=\frac{3}{2}$。(答案不唯一)
(2)若$a = 2$，$b = 2$，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1 + 1 = 2$，$ab = 4$，
　则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$比$ab$小$2$。
(3)将$b=\frac{a}{a - 1}$代入$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$，得$\frac{\frac{a}{a - 1}}{a}+\frac{a}{\frac{a}{a - 1}}=\frac{1}{a - 1}+a - 1$，
　将$b=\frac{a}{a - 1}$代入$ab$，得$a\cdot\frac{a}{a - 1}=\frac{a^{2}}{a - 1}$，
　$\because ab-(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})=\frac{a^{2}}{a - 1}-\frac{1}{a - 1}-a + 1=\frac{a^{2}-1}{a - 1}-a + 1=a + 1 - a + 1 = 2$，
　$\therefore\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$比$ab$小$2$。