《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

2.(2024·零陵区期末)如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如图：
【问题探究】(1)
第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM = ______°；
【类比应用】(2)
如图②，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
【拓展延伸】(3)
在(2)的探究中，正方形纸片的边长为4，改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ。当QF = 1时，请求出AP的长。

答案：

(1)$30$
(2) 由
(1)可得$\angle ABM = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle CBM=\angle ABC-\angle ABM = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，
在正方形$ABCD$中，$AB = BC$，$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，
由折叠知$AB = BM$，$\angle PMB=\angle A = 90^{\circ}$，
$\therefore BC = BM$，$\angle BMQ=\angle C = 90^{\circ}$，
在$Rt\triangle BMQ$和$Rt\triangle BCQ$中，
$\begin{cases}BC = BM,\\BQ = BQ,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle BMQ\cong Rt\triangle BCQ(HL)$，
$\therefore \angle MBQ=\angle CBQ$，
$\therefore \angle MBQ=\frac{1}{2}\angle CBM=\frac{1}{2}\times30^{\circ}=15^{\circ}$，
$\therefore \angle MBQ$的度数为$15^{\circ}$．
(3) 当点$Q$在点$F$的下方时，如答图①，

$\because$在正方形$ABCD$中，$AD = CD = 4$，
$\therefore DQ = QF + DF = 1+\frac{1}{2}CD = 1 + 2 = 3$，
$\therefore CQ = CD - DQ = 4 - 3 = 1$，
由
(2)知$Rt\triangle BMQ\cong Rt\triangle BCQ(HL)$，
$\therefore MQ = CQ = 1$，
设$AP = x$，由折叠知$MP = AP = x$，
$\therefore PQ = MP + MQ = x + 1$，$PD = AD - AP = 4 - x$，
在$Rt\triangle PDQ$中，$PD^{2}+DQ^{2}=PQ^{2}$，
$\therefore (4 - x)^{2}+3^{2}=(x + 1)^{2}$，
解得$x=\frac{12}{5}$，即$AP=\frac{12}{5}$；
当点$Q$在点$F$的上方时，如答图②，

则$DQ = DF - QF=\frac{1}{2}CD - 1 = 2 - 1 = 1$，
$\therefore CQ = CD - DQ = 4 - 1 = 3$，
$\therefore MQ = CQ = 3$，
设$AP = MP = x$，
则$PD = AD - AP = 4 - x$，$PQ = MP + MQ = x + 3$，
在$Rt\triangle PDQ$中，$PD^{2}+DQ^{2}=PQ^{2}$，
$\therefore (4 - x)^{2}+1^{2}=(x + 3)^{2}$，解得$x=\frac{4}{7}$，
即$AP=\frac{4}{7}$．
综上，$AP$的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{4}{7}$．