《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

10.（15分）（2023·天宁区期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3)，C(1,3).
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的图形△A2B2C2；
②在①的基础上，若点M(a,b)为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为_______.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)解：如答图所示.
(2)①解：如答图所示.

②$(-b,a)$

11.（20分）如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，OB上，且OE=OF，连接AE，CF.
（1）求证：AE=CF；
（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H.求证：AH=CG.
　　　　　　

答案： 证明：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD = BC$，$AD// BC$，$BO = DO$，
∴$∠ADE = ∠CBF$.
∵$OE = OF$，
∴$DE = BF$.
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，
$\begin{cases}AD = CB,\\∠ADE = ∠CBF,\\DE = BF,\end{cases}$
∴$\triangle ADE\cong\triangle CBF(SAS)$，
∴$AE = CF$.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// CD$，
∴$∠DAC = ∠BCA$.
∵$\triangle ADE\cong\triangle CBF$，
∴$∠DAE = ∠BCF$，
∴$∠EAO = ∠FCO$，
∴$AG// HC$.
∵$AH// CG$，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴$AH = CG$.

12.（20分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
（1）如图①，当点E恰好在AC上时，求∠ADE的度数；
（2）如图②，若α=60°，F是边AC的中点，连接BE，BF，FD，求证：四边形BEDF是平行四边形.
　　　

答案：
(1)解：
∵$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转$\alpha$得到$\triangle DEC$，点E恰好在AC上，
∴$CA = CD$，$∠ECD = ∠BCA = 30°$，
$∠DEC = ∠ABC = 90°$，
∴$∠CAD = ∠CDA = \frac{1}{2}\times(180 - 30) = 75°$，
∴$∠ADE = 90° - 75° = 15°$.
(2)证明：连接AD.
∵$∠ABC = 90°$，F是边AC的中点，
∴$CF = BF = \frac{1}{2}AC$.
∵$∠ACB = 30°$，
∴$AB = \frac{1}{2}AC$，
∴$CF = BF = AB$.
∵$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转60°得到$\triangle DEC$，
∴$∠BCE = ∠ACD = 60°$，$AC = CD$，$CB = CE$，$DE = AB$，
∴$DE = BF$，$\triangle ACD$和$\triangle BCE$为等边三角形，
∴$BE = CB$.
∵F为AC的中点，
∴$DF\perp AC$，
∴$∠DFC = ∠ABC = 90°$.
在$Rt\triangle DFC$和$Rt\triangle CBA$中，$\begin{cases}CF = AB,\\CD = AC,\end{cases}$
∴$Rt\triangle DFC\cong Rt\triangle CBA(HL)$，
∴$DF = BC$，
∴$DF = BE$.
又
∵$BF = DE$，
∴四边形BEDF是平行四边形.