《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

7. 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F为垂足. 连接EF，AG，延长AG交EF于点H.
（1）求证：∠DAG = ∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由.

答案：

(1) 证明：在正方形 $ABCD$ 中，$AD\perp CD,GE\perp CD$，
$\therefore \angle ADE = \angle GEC = 90^{\circ},\therefore AD// GE$，
$\therefore \angle DAG = \angle EGH$.
(2) 解：$AH\perp EF$. 理由：连接 $GC$ 交 $EF$ 于点 $O$，如答图

$\because BD$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线，
$\therefore \angle ADG = \angle CDG = 45^{\circ}$.
又 $\because DG = DG,AD = CD,\therefore \triangle ADG\cong\triangle CDG(SAS)$，
$\therefore \angle DAG = \angle DCG$.
在正方形 $ABCD$ 中，$\angle ECF = 90^{\circ}$，
又 $\because GE\perp CD,GF\perp BC,\therefore$ 四边形 $FCEG$ 为矩形，
$\therefore OE = OC,\therefore \angle OEC = \angle OCE,\therefore \angle DAG = \angle OEC$，
由
(1)得 $\angle DAG = \angle EGH,\therefore \angle EGH = \angle OEC$，
$\therefore \angle EGH + \angle GEH = \angle OEC + \angle GEH = \angle GEC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle GHE = 90^{\circ},\therefore AH\perp EF$.

8. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为H，延长BH交CD于点F，连接AF.
（1）求证：AE = BF；
（2）若正方形ABCD的边长是5，BE = 2，求AF的长.

答案：
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AB = BC,\angle ABE = \angle BCF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE + \angle AEB = 90^{\circ}$.
$\because BH\perp AE,\therefore \angle AEB + \angle EBH = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE = \angle EBH$.
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle BCF$ 中，
$\begin{cases}\angle BAE = \angle CBF, \\AB = BC, \\\angle ABE = \angle BCF\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle BCF(ASA),\therefore AE = BF$.
(2) 解：由
(1)得 $\triangle ABE\cong\triangle BCF,\therefore BE = CF$.
$\because$ 正方形 $ABCD$ 的边长是 $5,BE = 2$，
$\therefore DF = CD - CF = CD - BE = 5 - 2 = 3$，
在 $Rt\triangle ADF$ 中，由勾股定理，得 $AF = \sqrt{AD^{2} + DF^{2}} = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$.

9. 如图，BE，BD分别是△ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于点D，AE⊥BE于点E且交BC的延长线于点F，连接DE.
（1）判断四边形ADBE的形状，并说明理由；
（2）DE与BF相等吗？为什么？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是正方形？并说明理由.

答案： 解：
(1) 四边形 $ADBE$ 是矩形.
理由：$\because BE,BD$ 分别是 $\triangle ABC$ 中 $\angle ABC$ 的内、外角平分线，
$\therefore \angle DBE = \frac{1}{2}\times180^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\because AD\perp BD,AE\perp BE$，
$\therefore \angle ADB = \angle AEB = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形 $ADBE$ 是矩形.
(2) 相等.
理由：在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle FBE$ 中，
$\begin{cases}\angle ABE = \angle FBE, \\BE = BE, \\\angle BEA = \angle BEF\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle FBE(ASA),\therefore AB = BF$.
由
(1)知四边形 $ADBE$ 是矩形，
$\therefore DE = AB,\therefore DE = BF$.
(3) 当 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形且 $\angle ABC = 90^{\circ}$ 时，四边形 $ADBE$ 是正方形.
理由：$\because \triangle ABC$ 是等腰直角三角形且 $\angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AF$，
$\therefore$ 矩形 $ADBE$ 是正方形.