《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC = 16，BD = 12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，若AE = 4，则B'F的长为__________。
　　　　

答案： 6

8. 如图，将菱形ABCD沿直线EF翻折，点C落在边AB上的点G处，若EG⊥CD，AB = 5，BG = 1，则CE的长为__________。
　　　　　

答案： 4

9. 如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为__________。
　　　　　

答案： 3 cm

10. (2023·邗江区期末)如图，正方形ABCD中，CD = 6，点E在边CD上，且CD = 3DE。将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF。
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求△FGC的面积；
(3)在CD≠3DE的条件下，求△CEF周长的最小值。
　　　　　　

答案：

(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = AD = DC = BC = 6$，$\angle B=\angle BCD=\angle D = 90^{\circ}$.
$\because \triangle ADE$沿$AE$对折至$\triangle AFE$，$\therefore \triangle ADE\cong\triangle AFE$，
$\therefore AD = AF$，$\angle D=\angle AFE = 90^{\circ}$，
$\therefore AB = AF$，$\angle B=\angle AFG = 90^{\circ}$.
$\because AG = AG$，$\therefore Rt\triangle ABG\cong Rt\triangle AFG(HL)$.
(2)解：$\because CD = 3DE$，
$\therefore DE=\frac{1}{3}DC = 2$，$EC=\frac{2}{3}DC = 4$.
$\because \triangle ADE\cong\triangle AFE$，$\therefore DE = EF = 2$.
设$BG = x$，则$CG = BC - BG = 6 - x$，
$\because Rt\triangle ABG\cong Rt\triangle AFG$，
$\therefore BG = FG = x$，$\angle BGA=\angle FGA$，
$\therefore EG = EF + GF = 2 + x$.
$\because \angle ECG = 90^{\circ}$，$\therefore (6 - x)^{2}+4^{2}=(2 + x)^{2}$，解得$x = 3$，
$\therefore BG = FG = CG = 3$，
$\therefore S_{\triangle CEG}=\frac{1}{2}CE\cdot CG=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6$.
$\because FG = 3$，$EG = GF + EF = 5$，
$\therefore \frac{S_{\triangle FGC}}{S_{\triangle CEG}}=\frac{FG}{EG}=\frac{3}{5}$，即$\frac{S_{\triangle FGC}}{6}=\frac{3}{5}$，解得$S_{\triangle FGC}=\frac{18}{5}$.

(3)解：$\because \triangle ADE$沿$AE$对折至$\triangle AFE$，
$\therefore \triangle ADE\cong\triangle AFE$，$\therefore DE = EF$，
$\therefore \triangle CEF$的周长$=CE + EF + CF = CE + DE + CF = CD + CF = 6 + CF$，
$\therefore$当$CF$最小时，$\triangle CEF$的周长最小，
如答图，当点$A$，$F$，$C$三点共线时，$CF$最小，
根据勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 6\sqrt{2}$，
$\therefore CF = AC - AF = 6\sqrt{2}-6$，
$\therefore \triangle CEF$的周长最小值$=6 + CF = 6 + 6\sqrt{2}-6 = 6\sqrt{2}$.