《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

11. (20分)计算：
(1)$6xy^{2}\div\frac{2y^{2}}{x}$； (2)$\frac{2x - 1}{x - 1}-\frac{1}{x - 1}$；
(3)$\frac{x}{x^{2} - 4}-\frac{1}{2x - 4}$； (4)$\frac{x - y}{x}\div(x-\frac{2xy - y^{2}}{x})$.

答案： 解：
(1)原式$=6xy^{2}\cdot\frac{x}{2y^{2}} = 3x^{2}$.
(2)原式$=\frac{2x - 1 - 1}{x - 1}=\frac{2(x - 1)}{x - 1}=2$.
(3)原式$=\frac{2x}{2(x - 2)(x + 2)}-\frac{x + 2}{2(x - 2)(x + 2)}=\frac{x - 2}{2(x - 2)(x + 2)}=\frac{1}{2(x + 2)}=\frac{1}{2x + 4}$.
(4)原式$=\frac{x - y}{x}\div\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{x}=\frac{x - y}{x}\cdot\frac{x}{(x - y)^{2}}=\frac{1}{x - y}$.

12. (10分)(2023·吉林)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中$M$是单项式，请写出单项式$M$，并将该例题的解答过程补充完整.

例：先化简，再求值：$\frac{M}{a + 1}-\frac{1}{a^{2} + a}$，其中$a = 100$.
解：原式$=\frac{a^{2}}{a(a + 1)}-\frac{1}{a(a + 1)}$
......

答案： 解：由题意可得$\frac{M}{a + 1}=\frac{a^{2}}{a(a + 1)}=\frac{a}{a + 1}$，
则$M = a$，
那么$\frac{a}{a + 1}-\frac{1}{a^{2}+a}=\frac{a^{2}}{a(a + 1)}-\frac{1}{a(a + 1)}=\frac{a^{2}-1}{a(a + 1)}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a(a + 1)}=\frac{a - 1}{a}$，
当$a = 100$时，
原式$=\frac{100 - 1}{100}=\frac{99}{100}$.

13. (15分)(2023·姑苏区期中改编)(1)若$\frac{x}{x^{2} + 1}=\frac{1}{4}$，求代数式$x+\frac{1}{x}$的值；
(2)已知$\frac{x}{x^{2} - 3x + 1}=\frac{1}{2}$，求下列各式的值：
①$x+\frac{1}{x}$；②$\frac{x^{2}}{x^{4} + 2x^{2} + 1}$.

答案： 解：
(1)$\because\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{4}$，$\therefore\frac{x^{2}+1}{x}=4$，$\therefore\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=4$，$\therefore x+\frac{1}{x}=4$.
(2)①$\because\frac{x}{x^{2}-3x + 1}=\frac{1}{2}$，$\therefore\frac{x^{2}-3x + 1}{x}=2$，
$\therefore x - 3+\frac{1}{x}=2$，$\therefore x+\frac{1}{x}=5$.
②$\because\frac{x^{4}+2x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}=25$，
$\therefore\frac{x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{1}{25}$.

14. (15分)有甲、乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买饲料的价格分别为$m$元/千克和$n$元/千克，且$m\neq n$，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？(用含$m,n$的代数式表示)
(2)谁的采购方式更合算？

答案： 解：
(1)根据题意，甲采购员两次购买饲料的平均单价为$\frac{1000m + 1000n}{1000\times2}=\frac{m + n}{2}$（元），
乙采购员两次购买饲料的平均单价为$\frac{800\times2}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}=\frac{2mn}{m + n}$（元）.
(2)甲、乙所购饲料的平均单价的差是
$\frac{m + n}{2}-\frac{2mn}{m + n}=\frac{(m + n)^{2}}{2(m + n)}-\frac{4mn}{2(m + n)}=\frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}$（元），
$\because m$，$n$是正数且$m\neq n$，
$\therefore\frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}＞0$，即$\frac{m + n}{2}＞\frac{2mn}{m + n}$.
$\therefore$乙的采购方式更合算.