《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O. 求证：BD和CE不可能互相平分.

答案： 证明:连接DE
　假设BD和CE互相平分，
　则四边形EBCD是平行四边形，
∴BE//CD.
∵在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，
∴AC不可能平行于AB，
　故假设不成立，原命题正确，
　即BD和CE不可能互相平分

10. 如图，在□ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，G，H分别为AD，BC的中点. 求证：EF和GH互相平分.

答案：
证明:设GH与BD相交于点O，连接BG,DH，如答图所示.
　　　　　
　
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB=CD,AD=BC,AB//CD,
　
∴∠ABE=∠CDF.
　
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
　　在△ABE和△CDF中，
　　$\begin{cases}\angle ABE=\angle CDF,\\\angle AEB=\angle CFD,\\AB = CD,\end{cases}$
　
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF.
　
∵G,H分别为AD,BC的中点，
∴DG=BH.
　　又
∵DG//BH,
　
∴四边形BHDG是平行四边形，
　
∴OG=OH,OB=OD,
　
∴OB - BE=OD - DF,
　
∴OE=OF,
　　即EF和GH互相平分

11. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=5，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF.
（1）若DE=$\frac{1}{2}$OD，BF=$\frac{1}{2}$OB，
①求证：四边形AFCE为平行四边形；
②若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AFCE的周长；
（2）若DE=$\frac{1}{3}$OD，BF=$\frac{1}{3}$OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由.
若DE=$\frac{1}{n}$OD，BF=$\frac{1}{n}$OB呢？请直接写出结论.

答案：
(1)①证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴OA=OC,OB=OD.
　
∵DE=$\frac{1}{2}$OD,BF=$\frac{1}{2}$OB,
　
∴DE=BF,
∴OE=OF,
　
∴四边形AFCE为平行四边形
　②解:在▱ABCD中，AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA.
　
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA,
　
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD.
　
∵OA=OC,
∴OE⊥AC,
　
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
　
∵∠AEC=60°,
　
∴△ACE是等边三角形，
　
∴AE=CE=AC=2OA=10，
　
∴四边形AFCE的周长是
　2(AE + CE)=2×(10 + 10)=40.
(2)解:四边形AFCE是平行四边形，
　理由:
∵DE=$\frac{1}{3}$OD,BF=$\frac{1}{3}$OB,OD=OB,
　
∴DE=BF,
　
∴OB + BF=OD + DE，即OF=OE.
　
∵OA=OC,
　
∴四边形AFCE为平行四边形.
　　若DE=$\frac{1}{n}$OD,BF=$\frac{1}{n}$OB，则四边形AFCE为平行四边形