《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

8.（2024·广元）若点$Q(x,y)$满足$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，则称点$Q$为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标____________________.

答案： (2，-1)(答案不唯一)

9. 当$a$为何值时，关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 1}-\frac{a}{2 - x}=\frac{2(a + 1)}{x^{2}-3x + 2}$总无解？

答案： 解：方程两边同乘$(x - 1)(x - 2)$，得$(x - 2)+a(x - 1)=2(a + 1)$，
整理，得$(1 + a)x = 3a + 4$.
∵方程无解，
∴$a = -1$时，方程无解；
$x = 1$时，$a = -\frac{3}{2}$，方程无解；
$x = 2$时，$a = -2$，方程无解.
综上，当$a$的值为 -1或$-\frac{3}{2}$或 -2时，方程无解.

10. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 1}+\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$.
（1）若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
（2）若方程有增根，求$m$的值；
（3）若方程无解，求$m$的值.

答案： 解：方程两边同乘$(x + 2)(x - 1)$，得$2(x + 2)+mx=x - 1$，
整理，得$(m + 1)x = -5$.
(1)
∵$x = 1$是分式方程的增根，
∴$m + 1 = -5$，解得$m = -6$.
(2)
∵原分式方程有增根，
∴$(x + 2)(x - 1)=0$，解得$x = -2$或$x = 1$，
当$x = -2$时，$m=\frac{3}{2}$；当$x = 1$时，$m = -6$.
∴$m$的值为$\frac{3}{2}$或 -6.
(3)当$m + 1 = 0$时，该方程无解，此时$m = -1$；
当$m + 1\neq0$时，要使原方程无解，由
(2)得$m = -6$或$m=\frac{3}{2}$.
综上，$m$的值为 -1或 -6或$\frac{3}{2}$.

11. 已知分式$A=\frac{x}{x - 4}+\frac{y}{y - 4}$.
（1）已知$x = 2t + 6$，$y = 2 - 2t(t\neq - 1)$，试求分式$A$的值；
（2）已知$x = 3y$，且分式$A$的值等于$2$，试求$x$，$y$的值.

答案： 解：
(1)$A=\frac{2t + 6}{2t + 2}+\frac{2 - 2t}{-2t - 2}=\frac{t + 3}{t + 1}-\frac{1 - t}{t + 1}=\frac{2t + 2}{t + 1}=2$.
(2)由题意，得$2=\frac{3y}{3y - 4}+\frac{y}{y - 4}$，
解得$y = 2$，
经检验，$y = 2$是分式方程的解，
∴$x = 3y = 6$.