《2025年启东中学作业本八年级数学下册江苏版》

4. (2023·仪征期末)如图，菱形$ABCD$的边长为$2$，$\angle B = 60^{\circ}$，点$M$，$N$分别是边$BC$，$CD$上的两个动点，$\angle MAN = 60^{\circ}$，连接$MN$.
(1)$\triangle AMN$是等边三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)在$M$，$N$运动的过程中，$\triangle CMN$的面积存在最大值吗？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由.

答案：

(1)证明：如答图，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM≌△CAN(ASA)，
∴AM=AN.
∵∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形.
(2)解：△CMN的面积存在最大值，理由如下：
∵△BAM≌△CAN，
∴$S_{△BAM}=S_{△CAN}，$
∴四边形AMCN的面积$=S_{△ACD}=1/2×2×√3=√3，$

∴四边形AMCN的面积不发生变化.
∴当△AMN的面积最小时，△MCN的面积最大.
∵△AMN是等边三角形，
根据垂线段最短可知，当AM⊥BC时，AM的值最小，△AMN的面积最小，
此时△AMN的面积=1/2×3/2×√3=3√3/4，
∴△CMN的面积的最大值=√3-3√3/4=√3/4.

5. 如图①，四边形$OABC$是菱形，$B(6,0)$，$\angle C = 60^{\circ}$.
(1)作$\angle AOB$的平分线$OD$，交$AB$于点$D$；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，点$P$在直线$OD$上，当$|PC - PA|$取最大值时，求$OP$的长；
(3)如图②，$E$，$F$分别是线段$OA$，$OC$上的动点，$\angle EBF = 60^{\circ}$，求四边形$OEBF$周长的最小值.

答案：
解：
(1)如答图所示.
(2)如答图，连接PA，PC，PB，延长CB交OD于点P'，连接AP'.
∵四边形OABC是菱形，∠OCB=60°，
∴AO=AB=OC=BC，
∠OAB=∠OCB=60°，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴OA=OB.
∵OD平分∠AOB，
∴OD⊥AB，AD=DB，
∴PA=PB，

∴PC-PA=PC-PB≤BC，
∴当点P与点P'重合时，|PC-PA|取最大值.
∵∠COB=60°，∠DOB=30°，
∴∠COP'=90°.
∵OC=OB=6，∠OCP'=60°，
∴OP'=6√3，
∴当|PC-PA|取最大值时，OP的长为6√3.
(3)
∵∠EBF=∠OBC=60°，
∴∠OBE=∠CBF.
∵∠BOE=∠C=60°，BO=BC，
∴△BOE≌△BCF(ASA)，
∴OE=CF，BE=BF，
∴OE+OF=CF+FO=OC=6，
∴BE+BF的值最小时，四边形OEBF的周长最小.
根据垂线段最短可知，当BE⊥OA，BF⊥OC时，BE+BF的值最小，为6√3.此时满足∠EBF=60°，
∴四边形OEBF周长的最小值为6+6√3.