《2025年通成学典课时作业本八年级数学下册苏科版苏州专版》

8. 已知两个不等于0的实数$a、b$满足$a + b = 0$，则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为 （ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： A 解析：$\because a + b = 0$，$\therefore a = -b$。$\therefore \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b}{-b} + \frac{-b}{b} = -1 + (-1) = -2$。

9. 当$a = 2024$时，分式$\frac{4 - a^{2}}{a - 2}$的值是________.

答案： -2026

10. 已知$x$为整数，且分式$\frac{3x - 15}{x^{2}-10x + 25}$的值也为整数，则$x$可取的值为__________.

答案： 6、4、8、2 解析：$\frac{3x - 15}{x^{2} - 10x + 25} = \frac{3(x - 5)}{(x - 5)^{2}} = \frac{3}{x - 5}$。$\because x$为整数，$\therefore x - 5$为整数。$\because$分式$\frac{3}{x - 5}$的值也为整数，$\therefore x - 5 = \pm1,\pm3$。$\therefore x$可取的值为6、4、8、2。

11. 若$\frac{n + m}{n - m}=3$，求代数式$\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}}$的值.

答案： $\because \frac{n + m}{n - m} = 3$，$\therefore n + m = 3(n - m)$，即$n = 2m$。$\therefore \frac{m^{2}}{n^{2}} + \frac{n^{2}}{m^{2}} = \frac{m^{2}}{(2m)^{2}} + \frac{(2m)^{2}}{m^{2}} = \frac{m^{2}}{4m^{2}} + \frac{4m^{2}}{m^{2}} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$

12. 已知$x + y = 2$，$x - y=\frac{1}{2}$，求分式$\frac{2x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}$的值.

答案： 原式$=\frac{2(x + y)(x - y)}{(x + y)^{2}} = \frac{2(x - y)}{x + y}$。$\because x + y = 2$，$x - y = \frac{1}{2}$，$\therefore$原式$=\frac{2\times\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

13. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”. 例如：$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}=\frac{4x(x - 2)}{x - 2}=4x$，则称分式$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”. 根据上述定义，解决问题.
（1）判断下面的分式是不是“巧分式”：①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；②$\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$.
（2）若分式$\frac{x^{2}-4x + m}{x + 3}$（$m$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求$m$的值.

答案：
(1) $\because \frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = 2x - 3$，$2x - 3$是整式，$\therefore$ ①是“巧分式”。$\because \frac{x^{2} - y^{2}}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y)}{x + y} = x - y$，$x - y$是整式，$\therefore$ ②是“巧分式”
(2) $\because$分式$\frac{x^{2} - 4x + m}{x + 3}$（$m$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，$\therefore (x + 3)(x - 7) = x^{2} - 4x + m$。$\therefore x^{2} - 4x - 21 = x^{2} - 4x + m$。$\therefore m = -21$