《2025年通成学典课时作业本八年级数学下册苏科版苏州专版》

20. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB = AD，CB = CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）试确定点E的位置，使得∠BCD = ∠EFD，并说明理由.
　

答案： （1）在 △ABC 和 △ADC 中，$\begin{cases}AB = AD, \\CB = CD, \\AC = AC\end{cases}$，
∴ △ABC ≌ △ADC.
∴ ∠BAC = ∠DAC.
∵ AB // CD，
∴ ∠BAC = ∠ACD.
∴ ∠DAC = ∠ACD.
∴ AD = CD.
∵ AB = AD，CB = CD，
∴ AB = CB = CD = AD.
∴ 四边形 ABCD 是菱形 （2）当 BE ⊥ CD 时，∠BCD = ∠EFD 理由：由（1），得四边形 ABCD 是菱形，
∴ ∠BCF = ∠DCF. 在 △BCF 和 △DCF 中，$\begin{cases}CB = CD, \\\angle BCF = \angle DCF, \\FC = FC\end{cases}$，
∴ △BCF ≌ △DCF.
∴ ∠CBF = ∠CDF.
∵ BE ⊥ CD，
∴ ∠BEC = ∠DEF = 90°.
∴ 易得∠BCD = ∠EFD.

21. 已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM、EM.
（1）如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM、EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论.
（2）如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）将图①中的正方形CEFG绕点C旋转，使D、E、F三点在一条直线上. 若AB = 13，CE = 5，请画出图形，并直接写出MF的长.
　

答案：
（1）DM = EM，DM ⊥ EM （2）（1）中的结论仍然成立，即 DM = EM，DM ⊥ EM 延长 EM 交 DA 的延长线于点 H.
∵ 四边形 ABCD 与四边形 CEFG 是正方形，
∴ ∠ADE = ∠DEF = 90°，AD = CD，EC = FE.
∴ ∠ADE + ∠DEF = 180°.
∴ AD // EF.
∴ ∠MAH = ∠MFE.
∵ M 是 AF 的中点，
∴ AM = FM. 又
∵ ∠AMH = ∠FME，
∴ △AMH ≌ △FME.
∴ MH = ME，AH = FE = EC.
∴ DH = DE.
∴ 在 Rt△EDH 中，DM = EM，DM ⊥ EM （3）如图①，$MF = \sqrt{157}$；如图②，$MF = \sqrt{37}$