《2025年通成学典课时作业本八年级数学下册苏科版苏州专版》

8. 若把$x\sqrt{-\frac{1}{x}}$中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是 （ ）
A. $\sqrt{x}$
B. $\sqrt{-x}$
C. $-\sqrt{x}$
D. $-\sqrt{-x}$

答案： D

9. 若$\frac{\sqrt{y + 2}}{\sqrt{2x - 1}}=\sqrt{\frac{y + 2}{2x - 1}}$，且$x + y = 5$，则$x$的取值范围是___________.

答案： $\frac{1}{2}＜x\leqslant7$

10. 如果$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{17}=b$，那么$\sqrt{0.85}$用含$a$、$b$的代数式可以表示为_______.

答案： 答案不唯一，如$\frac{ab}{10}$ 解析：$\sqrt{0.85}=\sqrt{\frac{85}{100}}=\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{5\times17}}{\sqrt{10^{2}}}=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{17}}{\sqrt{10^{2}}}=\frac{ab}{10}$

11. 计算：
（1）$\sqrt{\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}}(n ＞ m ＞ 0)$； （2）$\frac{\sqrt{3a^{3}} \cdot \sqrt{6b^{3}}}{\sqrt{2ab}}(a ＞ 0,b ＞ 0)$；
（3）$4\sqrt{5} \div (-5\sqrt{1\frac{4}{5}})$； （4）$\frac{3}{5}\sqrt{xy^{5}} \div (-\frac{4}{15}\sqrt{\frac{y}{x}}) \times (-\frac{5}{6}\sqrt{x^{3}y})$.

答案：
(1) $\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{mn}$
(2) $3ab$
(3) $-\frac{4}{3}$
(4) $\frac{15}{8}x^{2}y^{2}\sqrt{xy}$

12. （2023·乐山）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$为边$AB$上任意一点（不与点$A$、$B$重合），过点$D$作$DE // BC$，$DF // AC$，分别交$AC$、$BC$于点$E$、$F$，连接$EF$.
（1）求证：四边形$ECFD$是矩形；
（2）若$CF = 2$，$CE = 4$，求点$C$到$EF$的距离.

答案：
(1) $\because DF// AC,DE// BC,\therefore$ 四边形 $ECFD$ 是平行四边形. $\because\angle C = 90^{\circ},\therefore$ 四边形 $ECFD$ 是矩形
(2) 过点 $C$ 作 $CH\perp EF$ 于点 $H$，则点 $C$ 到 $EF$ 的距离即为 $CH$ 的长. $\because$ 在 $Rt\triangle ECF$ 中，$CF = 2$，$CE = 4$，$\therefore EF = \sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $\because S_{\triangle ECF}=\frac{1}{2}CF\cdot CE=\frac{1}{2}EF\cdot CH$，$\therefore CH=\frac{CF\cdot CE}{EF}=\frac{2\times4}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$. $\therefore$ 点 $C$ 到 $EF$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$