《2025年通成学典课时作业本八年级数学下册苏科版苏州专版》

1.(2023·阜新)如图，正比例函数y = kx的图像与反比例函数y = - $\frac{5}{x}$的图像相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A. 10
B. 7.5
C. 5
D. 2.5
　　

答案： C

2.(2023·朝阳改编)如图，点A在函数y =

$\frac{3}{x}$

(x＜0)的图像上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C在y轴上，则△ABC的面积为_______.
　　

答案： $\frac{3}{2}$

3. 如图，点A在函数y = $\frac{\sqrt{3}}{x}$ (x＞0)的图像上，点B在x轴正半轴上，△OAB是等边三角形，则△OAB的面积为_______.
　　

答案： $\sqrt{3}$

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y₁ = $\frac{k}{x}$ (x＞0，k为常数且k＞2)的图像上，边AB与函数y₂ = $\frac{2}{x}$ (x＞0)的图像交于点D，连接OD，则涂色部分的面积为_______（用含k的式子表示）.
　　

答案： $k - 1$

5. 如图，P为x轴的负半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数y = - $\frac{1}{x}$ (x＜0)的图像于点A，交函数y = - $\frac{4}{x}$ (x＜0)的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交函数y = - $\frac{1}{x}$ (x＜0)的图像于点C，连接AC.
（1）当点P的坐标为(-1，0)时，△ABC的面积为_______.
（2）若AB = BC，求点A的坐标.
（3）连接OA、OC. 当点P的坐标为(t，0)时，△OAC的面积是否随t的变化而变化？请说明理由.
　　

答案：
（1）$\frac{9}{8}$ 解析：$\because AB \perp x$轴，$BC // x$轴，点$P$的坐标为$(-1,0)$，点$A$、$C$在函数$y = -\frac{1}{x}(x ＜ 0)$的图像上，点$B$在函数$y = -\frac{4}{x}(x ＜ 0)$的图像上，$\therefore$ 易得点$A$、$B$、$C$的坐标分别为$(-1,1)$、$(-1,4)$、$(-\frac{1}{4},4)$.$\therefore BC = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}$，$AB = 4 - 1 = 3$.$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AB = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{8}$.
（2）设点$P$的坐标为$(m,0)(m ＜ 0)$，则易得点$A$、$B$、$C$的坐标分别为$(m,-\frac{1}{m})$、$(m,-\frac{4}{m})$、$(\frac{m}{4},-\frac{4}{m})$，$\therefore AB = -\frac{4}{m} - (-\frac{1}{m}) = -\frac{3}{m}$，$BC = \frac{m}{4} - m = -\frac{3m}{4}$.$\because AB = BC$，$\therefore -\frac{3}{m} = -\frac{3m}{4}$，解得$m = -2$（正值舍去）.$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,\frac{1}{2})$ （3）$\triangle OAC$的面积不随$t$的变化而变化 理由：如图，过点$A$作$AM \perp y$轴于点$M$，延长$BC$交$y$轴于点$N$，则易知$CN \perp y$轴.$\because$ 易得$S_{\triangle AMO} = S_{\triangle CNO}$，$CN = -\frac{t}{4}$，$AM = -t$，$MN = -\frac{4}{t} - (-\frac{1}{t}) = -\frac{3}{t}$，$\therefore S_{\triangle OAC} = S_{\triangle AMO} + S_{梯形AMNC} - S_{\triangle CNO} = S_{梯形AMNC} = \frac{1}{2}(CN + AM) \cdot MN = \frac{1}{2}(-\frac{t}{4} - t) \cdot (-\frac{3}{t}) = \frac{15}{8}$.$\therefore \triangle OAC$的面积不随$t$的变化而变化.