1. 空间向量
(1) 定义: 在空间, 具有和的量叫做空间向量.
(2) 长度或模: 向量的.
(3) 表示方法:
①几何表示法: 空间向量用表示.
②字母表示法: 用字母$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},…$表示; 若向量$\boldsymbol{a}的起点是A$, 终点是$B$, 也可记作, 其模记为或.

3. 空间向量的加减法和运算律

(1) 加法: $\overrightarrow{OB}=$$=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.
(2) 减法: $\overrightarrow{CA}=$$=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.
(3) 加法运算律:
①交换律: $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=$;
②结合律: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=$.

4. 空间向量的数乘运算
(1) 定义: 实数$\lambda与空间向量\boldsymbol{a}的乘积\lambda\boldsymbol{a}$仍然是一个, 称为向量的数乘运算.
(2) 向量$\boldsymbol{a}与\lambda\boldsymbol{a}$的关系:
| $\lambda$的范围 | 方向关系 | 模的关系 |
| $\lambda＞0$ | 方向 | $\lambda\boldsymbol{a}的模是\boldsymbol{a}$的模的倍 |
| $\lambda=0$ | $\lambda\boldsymbol{a}= \boldsymbol{0}$, 其方向是任意的 |
| $\lambda＜0$ | 方向 |
(3) 空间向量的数乘运算律: 设$\lambda,\mu$为实数, 那么
①分配律: $\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})= \lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$;
②结合律: $\lambda(\mu\boldsymbol{a})= (\lambda\mu)\boldsymbol{a}$.

5. 平行(共线)向量与共面向量
| | 平行(共线)向量 | 共面向量 |
| 定义 | 位置关系 | 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系: 互相平行或重合 | 平行于同一个平面的向量 |
| | 特征 | 方向: 相同或相反 | |
| | 特例 | 零向量与任意向量都共线 | |
| 充要条件 | 对任意两个空间向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0})$, $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}的充要条件是存在实数\lambda$, 使$\boldsymbol{a}= \lambda\boldsymbol{b}$ | 向量$\boldsymbol{p}与不共线向量\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)$, 使 |

6. 向量$\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}$的夹角
已知两个非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$, 在空间任取一点$O$, 作$\overrightarrow{OA}= \boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}= \boldsymbol{b}$, 则叫做向量$\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}$的夹角, 记作.
通常规定$0^{\circ}\leqslant\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\leqslant180^{\circ}$, 且$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle$, 如果$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=$, 那么称$\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}$互相垂直, 记作$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$.