《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

21.(8分)解答题:
(1)用十字相乘法分解因式:$3x^2 - 5x - 12$;
(2)已知$x$是实数,试比较$x^2 - 5x + 5$与$-x^2 + 3x - 4$的大小,请说明理由.

答案：
(1) $3x^2 - 5x - 12$，$a=3$，$c=-12$，$a· c=-36$，寻找两数积为$-36$且和为$-5$，即$-9$和$4$。
十字相乘：$\begin{array}{c@{\quad}c}3x & +4 \\ x & -3\end{array}$，交叉相乘和：$3x·(-3)+x·4=-9x+4x=-5x$。
故$3x^2 - 5x - 12=(3x + 4)(x - 3)$。
(2) 作差：$(x^2 - 5x + 5)-(-x^2 + 3x - 4)$
$=x^2 - 5x + 5 + x^2 - 3x + 4$
$=2x^2 - 8x + 9$。
对于二次函数$y=2x^2 - 8x + 9$，$\Delta=(-8)^2 - 4×2×9=64 - 72=-8＜0$，且二次项系数$2＞0$，
则$2x^2 - 8x + 9＞0$恒成立，即$(x^2 - 5x + 5)-(-x^2 + 3x - 4)＞0$。
故$x^2 - 5x + 5 ＞ -x^2 + 3x - 4$。

22.(10分)已知$xy = 15$,且满足$(x^2y - xy^2) - (x - y) = 28$.
(1)求$x - y$的值;
(2)求$x^2 + y^2,x + y$的值.

答案： （1）
由已知$xy = 15$，且$(x^{2}y - xy^{2}) - (x - y) = 28$，
对$(x^{2}y - xy^{2}) - (x - y)$提取公因式得：
$xy(x - y)-(x - y)=28$
将$xy = 15$代入上式得：
$15(x - y)-(x - y)=28$
合并同类项得：
$14(x - y)=28$
解得$x - y = 2$。
（2）
由$x - y = 2$，两边平方得$(x - y)^{2}=4$，
根据完全平方公式$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$，将$xy = 15$代入可得：
$x^{2}+y^{2}-2×15 = 4$
$x^{2}+y^{2}=4 + 30=34$
根据完全平方公式$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$，将$x^{2}+y^{2}=34$，$xy = 15$代入可得：
$(x + y)^{2}=34+2×15=64$
则$x + y=\pm8$。
综上，答案依次为：（1）$2$；（2）$x^{2}+y^{2}=34$，$x + y=\pm8$。