《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

19. (8分)如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$CE$是$\triangle ABC$的角平分线，$BF$是$\triangle ABC$的中线.
(1)若$\angle ACB = 50^{\circ}$，$\angle BAD = 65^{\circ}$，求$\angle AEC$的度数；
(2)若$AB = 9$，$\triangle BCF$与$\triangle BAF$的周长差为$3$，求$BC$的长.

答案：
(1)50°；
(2)12．

20. (8分)如图，$AD$和$BF$分别是$\triangle ABC$的高和角平分线，$AE$是边$BC$上的中线.
(1)若$\triangle ABE$的面积为$6$，求$\triangle ABC$的面积；
(2)若$\angle C = 70^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，求$\angle DAC$和$\angle AFB$的度数.

答案：
(1)
因为$AE$是边$BC$上的中线，所以$BE = EC$。
$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEC}$（等底同高的两个三角形面积相等）。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AEC}$，已知$S_{\triangle ABE} = 6$，所以$S_{\triangle ABC}=12$。
(2)
因为$AD$是高线，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=180^{\circ}-\angle ADC - \angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，所以$\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAC-\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$BF$是角平分线，所以$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC = 25^{\circ}$。
在$\triangle ABF$中，$\angle AFB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABF=180^{\circ}- 60^{\circ}-25^{\circ}=95^{\circ}$。
综上，
(1)中$\triangle ABC$的面积是$12$；
(2)中$\angle DAC = 20^{\circ}$，$\angle AFB = 95^{\circ}$。