《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

21. (8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G.求证:
(1)DF//BC;
(2)FG=FE.

答案： （1）证明：
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AD\\ ∠CAF=∠DAF\\ AF=AF\end{array}\right.$
∴△ACF≌△ADF（SAS），
∴∠ACF=∠ADF．
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠AEC=90°．
∵∠ACB=∠AEC=90°，∠CAB=∠CAB，
∴∠B=∠ACE（同角的余角相等）．
∵∠ACF=∠ADF，∠ACE=∠ACF，
∴∠ADF=∠B．
∴DF//BC（同位角相等，两直线平行）．
（2）证明：
∵DF//BC，∠ACB=90°，
∴∠AGD=∠ACB=90°（两直线平行，同位角相等），即FG⊥AC．
∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，
∴FG=FE（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

22. (10分)如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点D,BD=CD.
(1)求证:△BDF≌△CDE;
(2)若∠C=50°,求∠DAC的度数.

答案：
(1)证明：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BDF和△CDE中，
∠BFD=∠CED，
∠BDF=∠CDE，
BD=CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)。
(2)解：
∵△BDF≌△CDE，
∴DF=DE，
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC，
∵BE⊥AC，∠C=50°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠DAC=90°-50°=40°。