《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

23. (11分)如图,在△ABD中,∠ABC=45°,AC,BF为△ABD的两条高.
(1)求证:BE=AD;
(2)若过点C作CM//AB,交AD于点M,求证:BE=AM+EM.

答案：
(1)证明：
∵AC、BF为△ABD的高，
∴∠ACB=∠ACD=∠AFB=90°．
∵∠ABC=45°，
∴Rt△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠BEC=∠AED（对顶角相等），∠BEC+∠EBC=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠EBC=∠EAD（等角的余角相等）．
在△BEC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠EBC=∠DAC\\ BC=AC\\ ∠BCE=∠ACD=90°\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△ADC（ASA），
∴BE=AD．
(2)证明：
∵CM//AB，
∴∠BAC=∠MCA（两直线平行，内错角相等）．
∵∠BAC=45°（Rt△ABC中，∠ABC=45°），
∴∠MCA=45°．
∵∠ACD=90°，
∴∠MCD=∠ACD-∠MCA=45°，
∴∠MCA=∠MCD=45°．
由
(1)△BEC≌△ADC得EC=DC．
在△CEM和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l} EC=DC\\ ∠ECM=∠DCM=45°\\ CM=CM\end{array}\right.$，
∴△CEM≌△CDM（SAS），
∴EM=DM．
∵AD=AM+DM，
∴AD=AM+EM．
∵BE=AD（由
(1)得），
∴BE=AM+EM．

24. (12分)已知在四边形ABCD中,AB=AD,∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.
(1)如图1,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,则线段EF,BE,FD之间的关系是$EF = BE + FD$;
(2)如图2,∠ABC+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.

答案：
(1) $EF = BE + FD$
(2) 结论仍然成立，证明如下：
延长 $FD$ 到点 $G$，使 $DG = BE$，连接 $AG$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADG$ 中：
$AB = AD$，$\angle ABE = \angle ADG = 180° - \angle ADC$，$BE = DG$，
所以 $\triangle ABE \cong \triangle ADG$（SAS）。
则 $AE = AG$，$\angle BAE = \angle DAG$。
因为 $\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$，
所以 $\angle GAF = \angle DAG + \angle DAF = \angle BAE + \angle DAF = \angle BAD - \angle EAF = \angle EAF$。
在 $\triangle AEF$ 和 $\triangle AGF$ 中：
$AE = AG$，$\angle EAF = \angle GAF$，$AF = AF$，
所以 $\triangle AEF \cong \triangle AGF$（SAS）。
则 $EF = GF$。
因为 $GF = DG + FD = BE + FD$，
所以 $EF = BE + FD$。