《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

21. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$为$AC$上的一点，且满足$AD = BD = BC$，点$E$是$AB$的中点，连接$ED$并延长，交$BC$的延长线于点$F$，连接$AF$.
(1)求$\angle BAC$和$\angle ACB$的度数；
(2)求证：$\triangle ACF$是等腰三角形.

答案：
(1)设∠BAC=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-x)/2=90°-x/2。
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAC=x，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-3x/2。
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠ACB=90°-x/2。
在△BDC中，∠DBC+2∠BCD=180°，即(90°-3x/2)+2(90°-x/2)=180°，解得x=36°。
∴∠BAC=36°，∠ACB=90°-36°/2=72°。
(2)
∵E是AB中点，AD=BD，ED=ED，
∴△AED≌△BED(SSS)，
∴∠AED=∠BED=90°，即DE⊥AB。
在Rt△BED中，∠EBD=36°，
∴∠EDB=54°，∠BDF=180°-54°=126°。
在△BDF中，∠DBF=36°，
∴∠BFD=180°-36°-126°=18°。
∠ACF=180°-72°=108°，∠CAF=180°-108°-18°=36°，
∴∠CAF=∠AFC=36°，
∴CF=AC，即△ACF是等腰三角形。
答案：
(1)∠BAC=36°，∠ACB=72°；
(2)证明见上述过程。

22. (10分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 12$ cm，$AC = 10$ cm，$\angle A = 60^{\circ}$，点$P$从点$B$出发，以2 cm/s的速度向点$A$运动，同时点$Q$从点$A$出发，以1 cm/s的速度向点$C$运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为$t$ s. 当$\triangle APQ$为直角三角形时，求$t$的值.

答案： 情况一：∠APQ=90°
在Rt△APQ中，∠A=60°，∠APQ=90°，则∠AQP=30°。
由三角函数得：$\cos\angle A=\frac{AP}{AQ}$，即$\cos60°=\frac{AP}{AQ}$。
$\because \cos60°=\frac{1}{2}$，$AP=12-2t$，$AQ=t$，
$\therefore \frac{12-2t}{t}=\frac{1}{2}$，解得$t=\frac{24}{5}=4.8$。
情况二：∠AQP=90°
在Rt△APQ中，∠A=60°，∠AQP=90°，则∠APQ=30°。
由三角函数得：$\cos\angle A=\frac{AQ}{AP}$，即$\cos60°=\frac{AQ}{AP}$。
$\because \cos60°=\frac{1}{2}$，$AP=12-2t$，$AQ=t$，
$\therefore \frac{t}{12-2t}=\frac{1}{2}$，解得$t=3$。
结论
$t=3$或$t=\frac{24}{5}$。
答案：$t=3$或$t=\frac{24}{5}$。