《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

16. (6分)如图，在$\triangle ABC$中，$BD$是边$AC$上的高，$\angle A = 70^{\circ}$，$CE$平分$\angle ACB$交$BD$于点$E$，$\angle BEC = 118^{\circ}$，求$\angle ABC$的度数.

答案： 54°

17. (6分)一个三角形的两边$b = 2$，$c = 7$.
(1)当各边均为整数时，可以组成3个不同的三角形；
(2)若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？

答案：
(1)
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知$b = 2$，$c = 7$，设第三边为$a$，则$7 - 2\lt a\lt 7 + 2$，即$5\lt a\lt 9$。
因为各边均为整数，所以$a$可以为$6$，$7$，$8$，故可以组成$3$个不同的三角形。
(2)
若$a = b = 2$，因为$2 + 2=4\lt 7$，不满足三角形三边关系，舍去；
若$a = c = 7$，满足$2 + 7\gt 7$，$7 + 7\gt 2$，此时周长为$2 + 7 + 7 = 16$。
综上，答案为：
(1)$3$；
(2)$16$。

18. (6分)已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，$a = 4$，$b = 6$. 设$\triangle ABC$的周长是$x$.
(1)求$c$与$x$的取值范围；
(2)若$x$是小于$18$的偶数，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案：
(1)
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
已知$a = 4$，$b = 6$，所以$6 - 4\lt c\lt 6 + 4$，即$2\lt c\lt 10$。
因为$\triangle ABC$的周长$x=a + b + c$，把$a = 4$，$b = 6$代入得$x = 4 + 6 + c=10 + c$。
由$2\lt c\lt 10$，可得$12\lt x\lt 20$。
(2)
因为$x$是小于$18$的偶数，且$12\lt x\lt 20$，所以$x$可以为$14$或$16$。
当$x = 14$时，$c=x-(a + b)=14-(4 + 6)=4$，此时$a = c = 4$，$b = 6$，$\triangle ABC$是等腰三角形。
当$x = 16$时，$c=x-(a + b)=16-(4 + 6)=6$，此时$b = c = 6$，$a = 4$，$\triangle ABC$是等腰三角形。
综上，$\triangle ABC$是等腰三角形。