《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

21. (8分)如图,在$\bigtriangleup ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$是$\angle BAC$的平分线,$DE \bot AB$于点$E$,点$F$在$AC$上,且$BD$=$DF$.
(1)求证:$CF$=$EB$;
(2)试判断$AB$与$AF$,$EB$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)
$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\bot AB$，$DC\bot AC$，
$\therefore DE = DC$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt\triangle DCF$和$Rt\triangle DEB$中，
$\begin{cases}BD = DF\\DC = DE\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle DCF\cong Rt\triangle DEB(HL)$。
$\therefore CF = EB$。
(2)
$AB=AF + 2EB$。
理由如下：
$\because Rt\triangle DCF\cong Rt\triangle DEB$，
$\therefore CF = EB$。
又$\because AC=AF + CF$，
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，
$\begin{cases}AD = AD\\DC = DE\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED(HL)$。
$\therefore AC = AE$。
$\because AB=AE + EB$，$AC=AF + CF$，$AC = AE$，$CF = EB$，
$\therefore AB=(AF + CF)+EB=AF + 2EB$。

22. (10分)如图,在四边形$ABCD$中,$AB // CD$,在$BD$上取两点$E$,$F$,使$DE$=$BF$,连接$AE$,$CF$.
(1)若$AE // CF$,求证:$\bigtriangleup ABE \cong \bigtriangleup CDF$;
(2)在(1)的条件下,连接$AF$,$CE$,试判断$AF$与$CE$有怎样的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF（两直线平行，内错角相等）．
∵AE//CF，
∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）．
∵DE=BF，
∴DE-EF=BF-EF，即DF=BE．
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠CDF\\ BE=DF\\ ∠AEB=∠CFD\end{array}\right. $，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
(2)AF=CE．
理由：由（1）知△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴AF=CE（平行四边形对边相等）．