《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

19.(8分)仔细阅读下面的例题,解答问题:
例题:已知二次三项式$x^2 - 4x + m$有一个因式是$x + 3$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$x + n$,得$x^2 - 4x + m=(x + 3)(x + n)$.
则$x^2 - 4x + m=x^2 + (n + 3)x + 3n$.
$\begin{cases}n + 3 = -4,\\m = 3n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -21,\\n = -7.\end{cases}$
$\therefore$另一个因式为$x - 7$,$m$的值为$-21$.
问题:已知二次三项式$x^2 + 6x + a$有一个因式是$x + 5$,求另一个因式以及$a$的值.

答案： 设另一个因式为$x + b$，
得$x^{2} + 6x + a = (x + 5)(x + b)$。
则$x^{2} + 6x + a = x^{2} + (b + 5)x + 5b$。
根据对应项系数相等，可列出方程组：
$\begin{cases}b + 5 = 6, \\a = 5b.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}b = 1, \\a = 5.\end{cases}$
$\therefore$另一个因式为$x + 1$，$a$的值为$5$。

20.(8分)参考某同学对多项式$(m^2 + 3m)(m^2 + 3m + 2) + 1$进行因式分解的过程:
解:设$m^2 + 3m = a$,则$(m^2 + 3m)(m^2 + 3m + 2) + 1 = a(a + 2) + 1 = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2 = (m^2 + 3m + 1)^2$.
请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解:
(1)$(x^2 - 5x)(x^2 - 5x + 4) + 4$;
(2)$(x^2 - 6x + 6)(x^2 - 6x + 12) + 9$.

答案：
(1) 设 $x^{2} - 5x = y$，
则 $(x^{2} - 5x)(x^{2} - 5x + 4) + 4$
$= y(y + 4) + 4$
$= y^{2} + 4y + 4$
$= (y + 2)^{2}$
将 $y = x^{2} - 5x$ 代入，得：
$(x^{2} - 5x + 2)^{2}$
(2) 设 $x^{2} - 6x + 6 = z$，
则 $(x^{2} - 6x + 6)(x^{2} - 6x + 12) + 9$
$= z(z + 6) + 9$
$= z^{2} + 6z + 9$
$= (z + 3)^{2}$
将 $z = x^{2} - 6x + 6$ 代入，得：
$(x^{2} - 6x + 9)^{2}$
$= (x - 3)^{4}$