《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

18. (6分)如图,在$\bigtriangleup ABC$中,点$D$是边$BC$上的一点,点$E$是边$BC$延长线上的一点,$BD$=$EC$,点$F$为$\bigtriangleup ABC$外的一点,连接$DF$,$EF$.若$\angle A = \angle F$,$AC // DF$,求证:$\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup FED$.

答案： 证明：
因为$AC// DF$，
所以$\angle ACB=\angle FDE$，
因为$\angle A=\angle F$，
$BD=EC$，
所以$BC=DE$，
在$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup FED$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle F,\\\angle ACB=\angle FDE,\\BC=DE.\end{cases}$
所以$\bigtriangleup ABC\cong\bigtriangleup FED(AAS)$。

19. (8分)如图,$AD$是$\bigtriangleup ABC$的中线,点$M$在$AD$上,点$N$在$AD$的延长线上,且$DM$=$DN$.
(1)求证:$\bigtriangleup BDN \cong \bigtriangleup CDM$;
(2)若$\angle$40$AMC = 80^{\circ}$,则$\angle N$= $^{\circ}$.

答案：
(1)
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDN$和$\triangle CDM$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDN=\angle CDM\\DM = DN\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）全等判定定理，可得$\triangle BDN\cong\triangle CDM$。
(2)
由$\triangle BDN\cong\triangle CDM$可知$\angle N=\angle DMC$。
因为$\angle AMC = 80^{\circ}$，且$\angle AMC$与$\angle DMC$是邻补角，所以$\angle DMC = 180^{\circ}-\angle AMC = 180 - 80=40^{\circ}$，则$\angle N = 40^{\circ}$。
故答案为：
(2)$40$。

20. (8分)如图,点$E$在$\bigtriangleup ABC$的外部,点$D$在$BC$上,$DE$交$AC$于点$F$,$\angle 2 = \angle 3$,$AE$=$AC$,$DE$=$BC$.
(1)求证:$\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup ADE$;
(2)若$\angle 2 = 60^{\circ}$,猜想$\bigtriangleup ABD$的形状并证明.

答案：
(1)证明：
∵DE交AC于点F，
∴∠AFE=∠DFC（对顶角相等）．
在△AFE和△DFC中，∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，
∴∠E=180°-∠2-∠AFE，∠C=180°-∠3-∠DFC（三角形内角和定理），
∴∠E=∠C．
在△ADE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AC,\\ ∠E=∠C,\\ DE=BC,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ABC（SAS）．
(2)△ABD是等边三角形．
证明：
∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AB，∠DAE=∠BAC（全等三角形对应边相等，对应角相等）．
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即∠2=∠BAD．
∵∠2=60°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．