《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

21. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上. 已知$DE // BC$，$\angle EDC = 40^{\circ}$，$\angle AED = 80^{\circ}$.
(1)求证：$CD$平分$\angle ACB$；
(2)过点$B$作$\angle ABC$的平分线$BF$交$CD$于点$F$，若$\angle A = 52^{\circ}$，求$\angle BFC$的度数.

答案：
(2)116°

22. (10分)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$\angle A = \angle ABE$，$\angle CDB = \angle CBD$，$BE$与$CD$相交于点$F$.
(1)若$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle ACB = 70^{\circ}$，求$\angle DFE$的度数；
(2)若$\angle CDB = \angle BFD$，求证：$\angle A = \angle BCD$.

答案：
(1)
∵∠A=40°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-40°-70°=70°。
∵∠A=∠ABE，
∴∠ABE=40°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°。
∵∠CDB=∠CBD，∠CBD=∠ABC=70°，
∴∠CDB=70°，
∴∠BCD=180°-∠CDB-∠CBD=180°-70°-70°=40°。
在△BFC中，∠FBC=30°，∠FCB=40°，
∴∠BFC=180°-30°-40°=110°。
∵∠DFE与∠BFC是对顶角，
∴∠DFE=∠BFC=110°。
(2)
设∠A=x，∠CBD=y，则∠ABE=∠A=x，∠CDB=∠CBD=y。
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=y-x。
∵∠CDB=∠BFD，
∴∠BFD=y。
∵∠BFD是△BFC的外角，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB，即y=(y-x)+∠BCD。
∵∠BCD=180°-∠CDB-∠CBD=180°-2y，
∴y=(y-x)+(180°-2y)，
化简得y=y-x+180°-2y，
即x=180°-2y，
∴∠A=x=∠BCD。
答案：
(1) 110°；
(2) 证明见上述过程。