《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

19.(8分)解分式方程：
(1)$\frac{3 - x}{2 - x}-3=\frac{x}{x - 2}$;
(2)$\frac{2}{x - 2}-\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{1}{x + 2}$.

答案：
(1)
方程$\frac{3 - x}{2 - x}-3=\frac{x}{x - 2}$两边同乘$(x - 2)$得：
$-(3 - x)-3(x - 2)=x$
去括号得：$-3 + x-3x + 6 = x$
移项得：$x-3x - x=-6 + 3$
合并同类项得：$-3x=-3$
系数化为$1$得：$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$x - 2=1 - 2=-1\neq0$
所以$x = 1$是原分式方程的解。
(2)
方程$\frac{2}{x - 2}-\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{1}{x + 2}$两边同乘$(x + 2)(x - 2)$得：
$2(x + 2)-4=x - 2$
去括号得：$2x+4 - 4=x - 2$
移项得：$2x - x=-2$
合并同类项得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$(x + 2)(x - 2)=(-2 + 2)×(-2 - 2)=0$
所以$x=-2$是增根，原分式方程无解。
综上，
(1)中方程的解为$x = 1$；
(2)中方程无解。

20.(8分)先化简,再求值：
(1)$(\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}-\frac{1}{2 - a})÷\frac{2}{a^{2}-2a}$,其中$a$满足$a^{2}+3a - 2 = 0$;
(2)已知$2x - y - 4 = 0$,求$\frac{6x - 3y}{4x^{2}-4xy + y^{2}}$的值.

答案：
(1)
化简原式：
对$\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}$化简，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2$，可得$\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)^2}=\frac{a + 2}{a - 2}$。
$\frac{1}{2 - a}=-\frac{1}{a - 2}$。
则$\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}-\frac{1}{2 - a}=\frac{a + 2}{a - 2}+\frac{1}{a - 2}=\frac{a + 3}{a - 2}$。
又因为$\frac{2}{a^{2}-2a}=\frac{2}{a(a - 2)}$，所以$(\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}-\frac{1}{2 - a})÷\frac{2}{a^{2}-2a}=\frac{a + 3}{a - 2}×\frac{a(a - 2)}{2}=\frac{a(a + 3)}{2}=\frac{a^{2}+3a}{2}$。
代入求值：
因为$a^{2}+3a - 2 = 0$，所以$a^{2}+3a = 2$。
原式$=\frac{2}{2}=1$。
(2)
对所求式子化简：
对$\frac{6x - 3y}{4x^{2}-4xy + y^{2}}$变形，$6x - 3y = 3(2x - y)$，$4x^{2}-4xy + y^{2}=(2x - y)^2$。
则$\frac{6x - 3y}{4x^{2}-4xy + y^{2}}=\frac{3(2x - y)}{(2x - y)^2}=\frac{3}{2x - y}$。
代入求值：
已知$2x - y - 4 = 0$，即$2x - y = 4$。
原式$=\frac{3}{4}$。