《2025年智慧课堂自主评价八年级数学上册》

23. (11分)如图,已知$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$,$M$是$BC$的中点,$DM$平分$\angle ADC$.求证:
(1)$AM$平分$\angle DAB$;
(2)$DM \bot AM$.

答案： （1）过点M作MN⊥AD于点N。
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，MN⊥AD，
∴MN=MC（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵M是BC中点，
∴BM=MC，
∴MN=BM。
∵∠B=90°，
∴MB⊥AB，又MN⊥AD，MN=BM，
∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
（2）
∵∠B=∠C=90°，
∴AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB//CD（垂直于同一直线的两直线平行），
∴∠DAB+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠DAM=1/2∠DAB，∠ADM=1/2∠ADC，
∴∠DAM+∠ADM=1/2(∠DAB+∠ADC)=90°。
在△AMD中，∠AMD=180°-(∠DAM+∠ADM)=90°，
∴DM⊥AM。

24. (12分)如图,已知在$\bigtriangleup ABC$中,$AB$=$AC$=10 cm,$BC$=8 cm,点$D$为$AB$的中点.点$P$在线段$BC$上以3 cm/s的速度由点$B$向点$C$运动,同时,点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动.
(1)若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等,则经过1 s后,$\bigtriangleup BPD$与$\bigtriangleup CQP$是否全等?请说明理由;
(2)若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等,当点$Q$的运动速度为多少时,能够使$\bigtriangleup BPD$与$\bigtriangleup CQP$全等?

答案：
(1)
三角形全等，理由如下：
因为$t = 1s$，
所以$BP = CQ = 3×1 = 3cm$。
因为$AB = 10cm$，点$D$为$AB$的中点，
所以$BD = 5cm$。
又因为$PC=BC - BP = 8 - 3 = 5cm$，
所以$PC = BD$。
因为$AB = AC$，
所以$\angle B=\angle C$。
在$\triangle BPD$和$\triangle CQP$中，
$\begin{cases}BD = PC\\\angle B=\angle C\\BP = CQ\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle BPD\cong\triangle CQP$。
(2)
设点$Q$的运动速度为$x cm/s$，运动时间为$t s$。
因为点$P$的速度为$3cm/s$，
所以$BP = 3t cm$，$PC=(8 - 3t)cm$，$CQ = xt cm$。
因为$AB = AC$，
所以$\angle B=\angle C$。
若$\triangle BPD\cong\triangle CQP$，
情况一：当$BD = PC$，$BP = CQ$时，
因为$D$为$AB$中点，$AB = 10cm$，
所以$BD=\frac{1}{2}AB = 5cm$。
由$BD = PC$可得$8 - 3t = 5$，
解得$t = 1$。
由$BP = CQ$可得$3×1 = x×1$，
解得$x = 3$，
因为点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等，
所以$x = 3$舍去。
情况二：当$BD = CQ$，$BP = PC$时，
由$BP = PC$可得$3t = 8 - 3t$，
$6t = 8$，
解得$t=\frac{4}{3}$。
由$BD = CQ$可得$5 = x×\frac{4}{3}$，
解得$x=\frac{15}{4}$。
综上，
(1) $\triangle BPD$与$\triangle CQP$全等；
(2) 点$Q$的运动速度为$\frac{15}{4}cm/s$时，$\triangle BPD$与$\triangle CQP$全等。